Determine se a série é convergente ou divergente
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações que temos:
- O enésimo termo é
. - O fator
é positivo para todo e tende a quando . - A série é alternada por causa do fator
.
Passo 2
Verificar o comportamento em módulo dos termos e se eles tendem a zero. Defino a sequência positiva
Vou calcular
. Como
e
, pelo produto (ou pela regra do quociente),
Portanto os termos da série alternada tendem a zero, condição necessária para qualquer convergência.
Passo 3
Para aplicar o teste de séries alternadas (Leibniz) preciso também que
seja monotona (eventualmente) decrescente. Vou mostrar que
é decrescente usando uma função contínua que o interpola:
defina para
defina para
Calculo a derivada
. Usando produto/chain rule:
Fatorando,
Para
temos
e
, logo
para todo
. Isso mostra que
é estritamente decrescente em
. Em particular, a sequência
é estritamente decrescente para
.
Passo 4
Agora aplico o Teste de Leibniz (série alternada): se uma sequência
é positiva, decrescente (a partir de algum
) e
, então a série alternada
converge. Temos verificado que
,
é decrescente e
. Logo
converge.
Explicação rápida do porquê usar esse teste na prova: quando aparecem termos
multiplicando uma sequência positiva que tende a zero, o Teste de Leibniz é o caminho mais direto — basta checar monotonicidade e limite zero.
Passo 5
Verificar se a convergência é absoluta. Considere a série dos módulos:
Faço uma comparação com a série harmônica
. Usei o fato de que
Como o limite é finito e estritamente positivo, pelo teste da comparação na forma do limite (limit comparison test) a série
e a série harmônica
têm o mesmo comportamento quanto à convergência. A série harmônica diverge, portanto
diverge. Conclusão: a série não é absolutamente convergente.
Passo 6
Juntando os resultados:
- A série alternada converge pelo Teste de Leibniz.
- A série dos módulos diverge (não é absolutamente convergente).
Portanto a série converge, mas não absolutamente — isto é, converge condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).