Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} e^{1 / n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} e^{1/n}}{n}
é convergente ou divergente. Informações que temos:
  • O enésimo termo é a_n = \dfrac{(-1)^{n} e^{1/n}}{n}.
  • O fator e^{1/n} é positivo para todo n e tende a 1 quando n\to\infty.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^n.

Passo 2

Verificar o comportamento em módulo dos termos e se eles tendem a zero. Defino a sequência positiva
b_n=\frac{e^{1/n}}{n}.
Vou calcular \lim_{n\to\infty} b_n. Como \lim_{n\to\infty} e^{1/n}=e^{0}=1 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0, pelo produto (ou pela regra do quociente),
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{e^{1/n}}{n}=1\cdot 0 = 0.
Portanto os termos da série alternada tendem a zero, condição necessária para qualquer convergência.

Passo 3

Para aplicar o teste de séries alternadas (Leibniz) preciso também que b_n seja monotona (eventualmente) decrescente. Vou mostrar que b_n é decrescente usando uma função contínua que o interpola:
defina para x>0
f(x)=\frac{e^{1/x}}{x}.
Calculo a derivada f'(x). Usando produto/chain rule:
f'(x)=e^{1/x}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)\cdot\frac{1}{x}+e^{1/x}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right).
Fatorando,
f'(x)=-e^{1/x}\left(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}\right)=-e^{1/x}\frac{1+ x}{x^{3}}.
Para x>0 temos e^{1/x}>0 e \dfrac{1+x}{x^{3}}>0, logo f'(x)<0 para todo x>0. Isso mostra que f é estritamente decrescente em (0,\infty). Em particular, a sequência b_n=f(n) é estritamente decrescente para n\ge1.

Passo 4

Agora aplico o Teste de Leibniz (série alternada): se uma sequência b_n é positiva, decrescente (a partir de algum N) e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série alternada \sum (-1)^n b_n converge. Temos verificado que b_n>0, b_n é decrescente e \lim b_n=0. Logo
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} e^{1/n}}{n}
converge.
Explicação rápida do porquê usar esse teste na prova: quando aparecem termos (-1)^n multiplicando uma sequência positiva que tende a zero, o Teste de Leibniz é o caminho mais direto — basta checar monotonicidade e limite zero.

Passo 5

Verificar se a convergência é absoluta. Considere a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{1/n}}{n}.
Faço uma comparação com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}. Usei o fato de que
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{e^{1/n}}{n}}{\dfrac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty} e^{1/n}=1.
Como o limite é finito e estritamente positivo, pelo teste da comparação na forma do limite (limit comparison test) a série \sum \dfrac{e^{1/n}}{n} e a série harmônica \sum \dfrac{1}{n} têm o mesmo comportamento quanto à convergência. A série harmônica diverge, portanto \sum |a_n| diverge. Conclusão: a série não é absolutamente convergente.

Passo 6

Juntando os resultados:
  • A série alternada converge pelo Teste de Leibniz.
  • A série dos módulos diverge (não é absolutamente convergente).
Portanto a série converge, mas não absolutamente — isto é, converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).

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