você vai utilizar um SAC para ajudá-lo a determinar os extremos absolutos das funções nos intervalos fechados especificados. Siga os passos indicados.
(a) Trace a função no intervalo para analisar seu comportamento geral.
(b) Determine os pontos interiores onde \boldsymbol{f}^{\prime}=0. (Em alguns exercícios, talvez você precise usar cálculo numérico para obter uma solução aproximada.) Experimente traçar f^{\prime} também.
(c) Determine os pontos interiores onde f^{\prime} não existe.
(d) Calcule a função em todos os pontos encontrados nos itens (b) e (c) e também nas extremidades do intervalo.
(e) Determine e localize os extremos absolutos das funções no intervalo especificado.
f(x)=x^{2 / 3}(3-x), \,[-2,2]

Passo 1

O enunciado dá a função e o intervalo:
  • Função: f(x)=x^{2/3}(3-x).
  • Intervalo fechado: [-2,2].
O que se pede (segundo os itens que você indicou): traçar/entender o comportamento geral da função no intervalo; encontrar pontos interiores onde f'(x)=0; encontrar pontos interiores onde f' não existe; avaliar f nesses pontos e nas extremidades; então identificar os extremos absolutos no intervalo.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • Os pontos de interesse possíveis são os pontos interiores onde f'(x)=0 ou onde f' não existe, e as extremidades x=-2 e x=2.
  • A função está bem definida para todo x\in[-2,2] (usar-se-á essa informação nos cálculos).

Passo 2

Traçando e analisando qualitativamente f em [-2,2].
  1. Observação sobre o sinal e zeros:
f(x)=x^{2/3}(3-x).
Para todo x real, x^{2/3}\ge 0 (é o quadrado da raiz cúbica de x), e para x\in[-2,2] tem-se 3-x>0. Portanto, em [-2,2] o produto é não negativo, isto é f(x)\ge 0 para todo x\in[-2,2].
Resolver f(x)=0:
x^{2/3}(3-x)=0 \iff x=0 \quad\text{ou}\quad x=3.
No intervalo [-2,2] apenas x=0 é solução. Logo f(0)=0 é o único zero no intervalo.
  1. Comportamento perto de x=0:
    Termo dominante para x pequeno é 3x^{2/3} (pois o x^{5/3} é de ordem superior). Assim f(x)\approx 3x^{2/3} quando x\to 0, isto é f(x) é pequeno e positivo para x\neq0 próximo de 0. A forma x^{2/3} indica uma “cúspide” (derivada tende ao infinito em módulo) em x=0 — a função é contínua mas a derivada pode não existir aí.
  2. Resumo qualitativo:
  • f\ge 0 no intervalo; o único ponto onde a função atinge zero internamente é x=0.
  • Espera-se um mínimo local em x=0 (já que f é não negativa e f(0)=0).
  • Pode haver máximos em pontos críticos interiores (onde f'=0) ou nas extremidades.

Passo 3

Calcular f'(x) (onde existe) e achar pontos interiores com f'(x)=0 e onde f' não existe.
Primeiro escrevo f em potências que facilitam a derivação:
f(x)=3x^{2/3}-x^{5/3}.
Usando a regra do poder \dfrac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1} válida para x\neq 0 (aqui aplicamos para expoentes racionais), para x\neq 0 obtemos:
f'(x)=3\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}-\frac{5}{3}x^{2/3}.
Simplificando:
f'(x)=2x^{-1/3}-\frac{5}{3}x^{2/3}.
Fatorando x^{-1/3} (válido para x\neq0):
f'(x)=x^{-1/3}\!\left(2-\frac{5}{3}x\right).
Agora determinamos pontos críticos interiores:
  • Pontos onde f'(x)=0 (com x\neq0):
    Resolver
x^{-1/3}\!\left(2-\frac{5}{3}x\right)=0.
Como x^{-1/3}\neq 0 para x\neq0, a única solução é
2-\frac{5}{3}x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{6}{5}=1{,}2.
Logo x=\dfrac{6}{5} é um ponto crítico interior.
  • Pontos onde f' não existe:
    A expressão x^{-1/3} mostra que f'(x) não está definida em x=0. Como 0 está no interior de [-2,2], x=0 é outro ponto crítico (ponto onde a derivada não existe).
Concluímos que os pontos interiores a avaliar são x=0 (derivada inexistente) e x=\dfrac{6}{5} (derivada zero). Além disso avaliaremos as extremidades x=-2 e x=2.

Passo 4

Calcular f nos pontos encontrados: x=-2, x=0, x=\dfrac{6}{5}, x=2.
  1. x=-2:
f(-2)=(-2)^{2/3}(3-(-2))=(2)^{2/3}\cdot 5=5\cdot 2^{2/3}.
Aproximação numérica: (2)^{1/3}\approx 1{,}2599\Rightarrow 2^{2/3}\approx 1{,}5874. Então
f(-2)\approx 5\cdot 1{,}5874 \approx 7{,}937.
  1. x=0:
f(0)=0^{2/3}(3-0)=0.
  1. x=\dfrac{6}{5}=1{,}2:
    Calculo passo a passo:
f\!\left(\frac{6}{5}\right)=\left(\frac{6}{5}\right)^{2/3}\!\left(3-\frac{6}{5}\right)=\left(\frac{6}{5}\right)^{2/3}\cdot\frac{9}{5}.
Valor numérico: primeiro calcule \left(\dfrac{6}{5}\right)^{1/3}. Como \dfrac{6}{5}=1{,}2,
(1{,}2)^{1/3}\approx 1{,}062658\quad\Rightarrow\quad (1{,}2)^{2/3}\approx 1{,}1292.
Multiplicando:
f\!\left(\frac{6}{5}\right)\approx 1{,}1292\cdot\frac{9}{5}=1{,}1292\cdot 1{,}8\approx 2{,}033.
  1. x=2:
f(2)=2^{2/3}(3-2)=2^{2/3}\cdot 1=2^{2/3}\approx 1{,}5874.
Resumindo os valores (aproximados com três casas decimais):
  • f(-2)\approx 7{,}937.
  • f(0)=0.
  • f\!\left(\dfrac{6}{5}\right)\approx 2{,}033.
  • f(2)\approx 1{,}587.

Passo 5

Comparar os valores para decidir extremos absolutos em [-2,2].
Dos valores calculados:
f(-2)\approx 7{,}937,\qquad f\!\left(\tfrac{6}{5}\right)\approx 2{,}033,\qquad f(2)\approx 1{,}587,\qquad f(0)=0.
Como a função é não negativa no intervalo e f(0)=0 é o menor valor encontrado, concluímos que o mínimo absoluto em [-2,2] é alcançado em x=0 com f(0)=0.
O maior valor entre os pontos testados é f(-2)=5\cdot 2^{2/3}\approx 7{,}937. Não existem outros candidatos (os únicos pontos a verificar eram os extremos e os pontos críticos que encontramos). Logo o máximo absoluto no intervalo ocorre em x=-2.
Adicionalmente, para interpretação local:
  • x=0 é um mínimo local (e é o mínimo absoluto) — a derivada não existe aí, mas a função toca zero e é positiva ao redor.
  • x=\dfrac{6}{5} é um máximo local (pois f passa pelos valores vistos e o valor em 6/5 é maior que em 2 e que em pontos próximos à direita; e é um ponto onde f'=0). Porém não é máximo absoluto no intervalo porque f(-2) é maior.

Resposta

Máximo absoluto: \,x=-2,\\ f(-2)=5\cdot 2^{2/3}\approx 7,937
Mínimo absoluto: \,x=0,\\ f(0)=0

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