você vai utilizar um SAC para ajudá-lo a determinar os extremos absolutos das funções nos intervalos fechados especificados. Siga os passos indicados.
(a) Trace a função no intervalo para analisar seu comportamento geral.
(b) Determine os pontos interiores onde
. (Em alguns exercícios, talvez você precise usar cálculo numérico para obter uma solução aproximada.) Experimente traçar
também.
(c) Determine os pontos interiores onde
não existe.
(d) Calcule a função em todos os pontos encontrados nos itens (b) e (c) e também nas extremidades do intervalo.
(e) Determine e localize os extremos absolutos das funções no intervalo especificado.
(a) Trace a função no intervalo para analisar seu comportamento geral.
(b) Determine os pontos interiores onde
(c) Determine os pontos interiores onde
(d) Calcule a função em todos os pontos encontrados nos itens (b) e (c) e também nas extremidades do intervalo.
(e) Determine e localize os extremos absolutos das funções no intervalo especificado.
Passo 1
O enunciado dá a função e o intervalo:
- Função:
. - Intervalo fechado:
.
O que se pede (segundo os itens que você indicou): traçar/entender o comportamento geral da função no intervalo; encontrar pontos interiores onde
; encontrar pontos interiores onde
não existe; avaliar
nesses pontos e nas extremidades; então identificar os extremos absolutos no intervalo.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- Os pontos de interesse possíveis são os pontos interiores onde
ou onde não existe, e as extremidades e . - A função está bem definida para todo
(usar-se-á essa informação nos cálculos).
Passo 2
Traçando e analisando qualitativamente
em
.
- Observação sobre o sinal e zeros:
Para todo
real,
(é o quadrado da raiz cúbica de
), e para
tem-se
. Portanto, em
o produto é não negativo, isto é
para todo
.
Resolver
:
No intervalo
apenas
é solução. Logo
é o único zero no intervalo.
-
Comportamento perto de
:
Termo dominante parapequeno é (pois o é de ordem superior). Assim quando , isto é é pequeno e positivo para próximo de . A forma indica uma “cúspide” (derivada tende ao infinito em módulo) em — a função é contínua mas a derivada pode não existir aí. -
Resumo qualitativo:
-
no intervalo; o único ponto onde a função atinge zero internamente é . - Espera-se um mínimo local em
(já que é não negativa e ). - Pode haver máximos em pontos críticos interiores (onde
) ou nas extremidades.
Passo 3
Calcular
(onde existe) e achar pontos interiores com
e onde
não existe.
Primeiro escrevo
em potências que facilitam a derivação:
Usando a regra do poder
válida para
(aqui aplicamos para expoentes racionais), para
obtemos:
Simplificando:
Fatorando
(válido para
):
Agora determinamos pontos críticos interiores:
- Pontos onde
(com ):
Resolver
Como
para
, a única solução é
Logo
é um ponto crítico interior.
- Pontos onde
não existe:
A expressãomostra que não está definida em . Como está no interior de , é outro ponto crítico (ponto onde a derivada não existe).
Concluímos que os pontos interiores a avaliar são
(derivada inexistente) e
(derivada zero). Além disso avaliaremos as extremidades
e
.
Passo 4
Calcular
nos pontos encontrados:
,
,
,
.
-
:
Aproximação numérica:
. Então
-
:
-
:
Calculo passo a passo:
Valor numérico: primeiro calcule
. Como
,
Multiplicando:
-
:
Resumindo os valores (aproximados com três casas decimais):
-
. -
. -
. -
.
Passo 5
Comparar os valores para decidir extremos absolutos em
.
Dos valores calculados:
Como a função é não negativa no intervalo e
é o menor valor encontrado, concluímos que o mínimo absoluto em
é alcançado em
com
.
O maior valor entre os pontos testados é
. Não existem outros candidatos (os únicos pontos a verificar eram os extremos e os pontos críticos que encontramos). Logo o máximo absoluto no intervalo ocorre em
.
Adicionalmente, para interpretação local:
-
é um mínimo local (e é o mínimo absoluto) — a derivada não existe aí, mas a função toca zero e é positiva ao redor. -
é um máximo local (pois passa pelos valores vistos e o valor em é maior que em e que em pontos próximos à direita; e é um ponto onde ). Porém não é máximo absoluto no intervalo porque é maior.
Resposta
Máximo absoluto:
Mínimo absoluto:
Mínimo absoluto: