você vai utilizar um SAC para ajudá-lo a determinar os extremos absolutos das funções nos intervalos fechados especificados. Siga os passos indicados.
(a) Trace a função no intervalo para analisar seu comportamento geral.
(b) Determine os pontos interiores onde \boldsymbol{f}^{\prime}=0. (Em alguns exercícios, talvez você precise usar cálculo numérico para obter uma solução aproximada.) Experimente traçar f^{\prime} também.
(c) Determine os pontos interiores onde f^{\prime} não existe.
(d) Calcule a função em todos os pontos encontrados nos itens (b) e (c) e também nas extremidades do intervalo.
(e) Determine e localize os extremos absolutos das funções no intervalo especificado.
f(x)=-x^{4}+4 x^{3}-4 x+1, [-3 / 4,3]

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -x^{4} + 4x^{3} - 4x + 1
e o intervalo fechado \left[-\tfrac{3}{4},\,3\right]. O que se pede é localizar os extremos absolutos (máximo absoluto e mínimo absoluto) dessa função dentro do intervalo. Para isso, preciso:
  • encontrar todos os pontos interiores onde \,f'(x)=0;
  • encontrar os pontos interiores onde f' não existe (se houver);
  • avaliar f nesses pontos críticos e também em cada extremidade do intervalo;
  • comparar os valores para decidir qual é o maior (máx. absoluto) e qual é o menor (mín. absoluto).
As informações relevantes do enunciado que vou usar: a expressão de f(x) e o intervalo \left[-\tfrac{3}{4},3\right]. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vou calcular a derivada e explicar por que isso importa. Regra: os extremos absolutos de uma função contínua num intervalo fechado aparecem apenas em pontos onde a derivada é zero, onde a derivada não existe, ou nas extremidades do intervalo.
Derivando termo a termo,
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{4}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(-4x\bigr) + \frac{d}{dx}(1)
f'(x) = -4x^{3} + 12x^{2} -4.
Posso factorizar o coeficiente comum:
f'(x) = -4\bigl(x^{3} - 3x^{2} + 1\bigr).
Os pontos críticos interiores são as soluções da equação \,f'(x)=0, isto é, das soluções de
x^{3} - 3x^{2} + 1 = 0.

Passo 3

Análise da equação cúbica g(x):=x^{3}-3x^{2}+1=0. Esta é uma cúbica com derivada g'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2), então g tem um máximo local em x=0 e um mínimo local em x=2. Calculando sinais simples:
  • g(0)=1>0,
  • g(1)=1-3+1=-1<0,
  • g(2)=8-12+1=-3<0,
  • g(3)=27-27+1=1>0.
Esses sinais mostram que g tem três raízes reais: uma na vizinhança de -1 a 0, outra entre 0 e 1, e outra entre 2 e 3. Vou encontrar aproximações numéricas para essas três raízes (método de bissecção), porque não há fatoração óbvia simples.
Explicação do método de bissecção (rápida): dado um intervalo [a,b] com g(a)\cdot g(b)<0, a bissecção escolhe m=(a+b)/2 e substitui o intervalo por [a,m] ou [m,b] onde o sinal muda; repetindo isso obtemos aproximações cada vez melhores da raiz. Vou aplicar até alcançar precisão suficiente (algumas casas decimais).

Passo 4

Encontrando a primeira raiz (à esquerda, entre -1 e -0,5) por bissecção — mostro alguns passos e o resultado final aproximado:
  • g(-1)=-3, g(-0,5)=0{,}125 → raiz em [-1,-0{,}5].
  • Subdividindo e verificando sinais sucessivamente obtém-se o intervalo final aproximadamente [-0{,}5322265625,\,-0{,}53173828125].
    Fazendo interpolação linear no último passo, obtemos a aproximação
x_{1} \approx -0{,}532106.
Interpretação rápida: x_{1} é um ponto interior do intervalo dado (pois -0{,}532106\in[-0{,}75,3]), logo é um candidato a extremo.

Passo 5

Encontrando a segunda raiz (entre 0 e 1) por bissecção — alguns passos e resultado:
  • g(0)=1, g(1)=-1 → raiz em [0,1].
  • Bissecção refinando dá um intervalo pequeno aproximado em torno de 0{,}653.
    Aproximação final por bissecção/interpolação:
x_{2} \approx 0{,}652704.
Esse também é um ponto interior do intervalo \left[-\tfrac{3}{4},3\right].

Passo 6

Encontrando a terceira raiz (entre 2 e 3) por bissecção — alguns passos e resultado:
  • g(2)=-3, g(3)=1 → raiz em [2,3].
  • Refinando por bissecção até tolerância pequena obtém-se um intervalo próximo de [2{,}87890625,\;2{,}880859375].
    Interpolação linear no final dá a aproximação
x_{3} \approx 2{,}878960.
Também está dentro do intervalo dado e é outro candidato a extremo.

Passo 7

Verificação de pontos onde f' não existe: f'(x) é um polinômio (expressão polinomial), portanto existe para todo x\in\mathbb{R}. Não há pontos interiores onde f' não existe. Assim os candidatos finais para extremos são:
  • os pontos críticos interiores onde f'(x)=0: x_{1}, x_{2}, x_{3};
  • as extremidades do intervalo: x=-\tfrac{3}{4} e x=3.

Passo 8

Avaliar f em cada candidato. Observação útil (economiza cálculo): em qualquer ponto crítico x satisfaz-se x^{3}=3x^{2}-1 (pois é raiz de g); substituindo isso em f(x) obtemos uma expressão mais simples em termos de x:
f(x) = -x^{4}+4x^{3}-4x+1 = x^{3}(4-x)-4x+1.
Substituindo x^{3}=3x^{2}-1:
f(x) = (3x^{2}-1)(4-x)-4x+1.
Desenvolvendo e simplificando (substituindo de novo quando necessário) chega-se a uma forma muito simples válida para pontos críticos:
\boxed{\,f(x)=3x^{2}-3x\quad\text{em quaisquer pontos onde }f'(x)=0.\,}
Isso acelera as avaliações em x_{1},x_{2},x_{3}.
Agora avalio numericamente:
  • Extremidade esquerda x=-\tfrac{3}{4}=-0{,}75:
f(-0{,}75) = -(-0{,}75)^{4} + 4(-0{,}75)^{3} -4(-0{,}75) + 1 = 1{,}99609375 \approx 1{,}99609.
  • Extremidade direita x=3:
f(3) = -3^{4} + 4\cdot 3^{3} -4\cdot 3 + 1 = -81 + 108 -12 +1 = 16.
  • Em x_{1}\approx -0{,}532106:
f(x_{1}) = 3x_{1}^{2} - 3x_{1}.
Calculemos: x_{1}^{2}\approx 0{,}283137, então 3x_{1}^{2}\approx 0{,}849411 e -3x_{1}\approx 1{,}596319. Logo
f(x_{1}) \approx 2{,}44573.
  • Em x_{2}\approx 0{,}652704:
f(x_{2}) = 3x_{2}^{2} - 3x_{2}.
Com x_{2}^{2}\approx 0{,}426022 obtemos 3x_{2}^{2}\approx 1{,}278066 e -3x_{2}\approx -1{,}958112. Logo
f(x_{2}) \approx -0{,}680046.
  • Em x_{3}\approx 2{,}878960:
f(x_{3}) = 3x_{3}^{2} - 3x_{3}.
Com x_{3}^{2}\approx 8{,}288411 temos 3x_{3}^{2}\approx 24{,}865233 e -3x_{3}\approx -8{,}636880. Logo
f(x_{3}) \approx 16{,}228353.
(Resumo numérico dos valores avaliados, arredondados a 6 casas decimais quando conveniente:
\begin{array}{l} f(-0{,}75)\approx 1{,}996094,\\\ f(x_{1}\approx -0{,}532106)\approx 2{,}445730,\\\ f(x_{2}\approx 0{,}652704)\approx -0{,}680046,\\\ f(x_{3}\approx 2{,}878960)\approx 16{,}228353,\\\ f(3)=16. \end{array} \) )

Passo 9

Comparação dos valores para decidir extremos absolutos no intervalo:
  • O maior valor entre os avaliados é f(x_{3})\approx 16{,}228353 (em x_{3}\approx 2{,}878960). Isso é maior que f(3)=16, logo o máximo absoluto no intervalo é em x\approx 2{,}878960.
  • O menor valor entre os avaliados é f(x_{2})\approx -0{,}680046 (em x_{2}\approx 0{,}652704). Logo o mínimo absoluto no intervalo é em x\approx 0{,}652704.

Resposta

Máximo absoluto: em x\approx 2{,}878960, com f(x)\approx 16{,}228353
Mínimo absoluto: em x\approx 0{,}652704, com f(x)\approx -0{,}680046

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