você vai utilizar um SAC para ajudá-lo a determinar os extremos absolutos das funções nos intervalos fechados especificados. Siga os passos indicados.
(a) Trace a função no intervalo para analisar seu comportamento geral.
(b) Determine os pontos interiores onde
. (Em alguns exercícios, talvez você precise usar cálculo numérico para obter uma solução aproximada.) Experimente traçar
também.
(c) Determine os pontos interiores onde
não existe.
(d) Calcule a função em todos os pontos encontrados nos itens (b) e (c) e também nas extremidades do intervalo.
(e) Determine e localize os extremos absolutos das funções no intervalo especificado.
(a) Trace a função no intervalo para analisar seu comportamento geral.
(b) Determine os pontos interiores onde
(c) Determine os pontos interiores onde
(d) Calcule a função em todos os pontos encontrados nos itens (b) e (c) e também nas extremidades do intervalo.
(e) Determine e localize os extremos absolutos das funções no intervalo especificado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo fechado
. O que se pede é localizar os extremos absolutos (máximo absoluto e mínimo absoluto) dessa função dentro do intervalo. Para isso, preciso:
- encontrar todos os pontos interiores onde
; - encontrar os pontos interiores onde
não existe (se houver); - avaliar
nesses pontos críticos e também em cada extremidade do intervalo; - comparar os valores para decidir qual é o maior (máx. absoluto) e qual é o menor (mín. absoluto).
As informações relevantes do enunciado que vou usar: a expressão de
e o intervalo
. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Vou calcular a derivada e explicar por que isso importa. Regra: os extremos absolutos de uma função contínua num intervalo fechado aparecem apenas em pontos onde a derivada é zero, onde a derivada não existe, ou nas extremidades do intervalo.
Derivando termo a termo,
Posso factorizar o coeficiente comum:
Os pontos críticos interiores são as soluções da equação
, isto é, das soluções de
Passo 3
Análise da equação cúbica
. Esta é uma cúbica com derivada
, então
tem um máximo local em
e um mínimo local em
. Calculando sinais simples:
-
, -
, -
, -
.
Esses sinais mostram que
tem três raízes reais: uma na vizinhança de
a
, outra entre
e
, e outra entre
e
. Vou encontrar aproximações numéricas para essas três raízes (método de bissecção), porque não há fatoração óbvia simples.
Explicação do método de bissecção (rápida): dado um intervalo
com
, a bissecção escolhe
e substitui o intervalo por
ou
onde o sinal muda; repetindo isso obtemos aproximações cada vez melhores da raiz. Vou aplicar até alcançar precisão suficiente (algumas casas decimais).
Passo 4
Encontrando a primeira raiz (à esquerda, entre
e
) por bissecção — mostro alguns passos e o resultado final aproximado:
-
, → raiz em . - Subdividindo e verificando sinais sucessivamente obtém-se o intervalo final aproximadamente
.
Fazendo interpolação linear no último passo, obtemos a aproximação
Interpretação rápida:
é um ponto interior do intervalo dado (pois
), logo é um candidato a extremo.
Passo 5
Encontrando a segunda raiz (entre
e
) por bissecção — alguns passos e resultado:
-
, → raiz em . - Bissecção refinando dá um intervalo pequeno aproximado em torno de
.
Aproximação final por bissecção/interpolação:
Esse também é um ponto interior do intervalo
.
Passo 6
Encontrando a terceira raiz (entre
e
) por bissecção — alguns passos e resultado:
-
, → raiz em . - Refinando por bissecção até tolerância pequena obtém-se um intervalo próximo de
.
Interpolação linear no final dá a aproximação
Também está dentro do intervalo dado e é outro candidato a extremo.
Passo 7
Verificação de pontos onde
não existe:
é um polinômio (expressão polinomial), portanto existe para todo
. Não há pontos interiores onde
não existe. Assim os candidatos finais para extremos são:
- os pontos críticos interiores onde
: , , ; - as extremidades do intervalo:
e .
Passo 8
Avaliar
em cada candidato. Observação útil (economiza cálculo): em qualquer ponto crítico
satisfaz-se
(pois é raiz de
); substituindo isso em
obtemos uma expressão mais simples em termos de
:
Substituindo
:
Desenvolvendo e simplificando (substituindo de novo quando necessário) chega-se a uma forma muito simples válida para pontos críticos:
Isso acelera as avaliações em
.
Agora avalio numericamente:
- Extremidade esquerda
:
- Extremidade direita
:
- Em
:
Calculemos:
, então
e
. Logo
- Em
:
Com
obtemos
e
. Logo
- Em
:
Com
temos
e
. Logo
(Resumo numérico dos valores avaliados, arredondados a 6 casas decimais quando conveniente:
Passo 9
Comparação dos valores para decidir extremos absolutos no intervalo:
- O maior valor entre os avaliados é
(em ). Isso é maior que , logo o máximo absoluto no intervalo é em . - O menor valor entre os avaliados é
(em ). Logo o mínimo absoluto no intervalo é em .
Resposta
Máximo absoluto: em
, com
Mínimo absoluto: em , com
Mínimo absoluto: em