Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{\sqrt{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{\sqrt{2}}}
é convergente ou divergente. Trata-se de uma série numérica de termos positivos e vamos aplicar o teste da série- p.

Passo 2

O teste da série- p afirma que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1, e diverge se p\le1.

Passo 3

No nosso caso o termo geral é
\frac{2}{n^{\sqrt{2}}} =2\cdot\frac{1}{n^{\sqrt{2}}},
logo corresponde a uma constante 2 vezes uma série- p com p=\sqrt{2}\approx1{,}414>1. Como \sum 1/n^{\sqrt{2}} converge e o fator 2 não altera isso, concluímos que a série original converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{\sqrt{2}}} é convergente.

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