Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
\sum_{n=2}^{\infty}(-4)^{n}(x-5)^{n}

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para os quais a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-4)^{n}(x-5)^{n}
converge e, em seguida, o cálculo da soma dessa série. O conteúdo envolve séries de potências, que aqui se reduzem a uma série geométrica em (x-5).

Passo 2

Escrevemos o termo geral como
a_n = (-4)^{n}(x-5)^{n} = \bigl(-4(x-5)\bigr)^{n},
o que mostra uma série geométrica de razão
r = -4(x-5).
Para uma série geométrica iniciada em n=2, a soma é
\sum_{n=2}^{\infty}r^{n} \;=\;\frac{r^{2}}{1-r},
desde que |r|<1.

Passo 3

A condição de convergência exige |r|<1:
\bigl|-4(x-5)\bigr|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x-5|<\frac{1}{4}.
Logo, o intervalo de convergência é
5-\tfrac14 < x < 5+\tfrac14.

Passo 4

Para a soma, usamos
r = -4(x-5), \quad r^{2} = 16\,(x-5)^{2},
e obtemos
S = \frac{r^{2}}{1-r} = \frac{16\,(x-5)^{2}}{1 - \bigl(-4(x-5)\bigr)} = \frac{16\,(x-5)^{2}}{1 + 4(x-5)}.

Resposta

A série converge se
|x-5|<\frac{1}{4},
neste intervalo a soma é
\sum_{n=2}^{\infty}(-4)^{n}(x-5)^{n} = \frac{16\,(x-5)^{2}}{1 + 4(x-5)}.

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