Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}^{n} x}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para achar, em função de x, o domínio de convergência e a soma da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^{n}x}{3^{n}}.
O conteúdo principal aqui é série geométrica. Vamos ver se conseguimos escrever cada termo como r^{n}, aplicar o critério de convergência \lvert r\rvert<1 e usar a fórmula da soma.

Passo 2

Observe que
\frac{\operatorname{sen}^{n}x}{3^{n}} =\Bigl(\frac{\operatorname{sen} x}{3}\Bigr)^{n}.
Logo, a série vira
\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl(\frac{\operatorname{sen} x}{3}\Bigr)^{n},
que é uma série geométrica de razão
r = \frac{\operatorname{sen} x}{3}.

Passo 3

A série geométrica \sum_{n=2}^{\infty}r^{n} converge se, e somente se,
\lvert r\rvert<1.
Aqui r=\frac{\operatorname{sen} x}{3}, e como sempre \lvert\operatorname{sen} x\rvert\le1, segue que
\bigl\lvert \tfrac{\operatorname{sen} x}{3}\bigr\rvert \le \tfrac{1}{3}<1
para todo x\in\mathbb{R}. Portanto, a série converge para todo x real.

Passo 4

Quando \lvert r\rvert<1, vale
\sum_{n=2}^{\infty}r^{n} =\frac{r^{2}}{1-r}.
Substituindo r=\tfrac{\operatorname{sen} x}{3}, obtemos
\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl(\frac{\operatorname{sen} x}{3}\Bigr)^{n} =\frac{\bigl(\frac{\operatorname{sen} x}{3}\bigr)^{2}}{1-\frac{\operatorname{sen} x}{3}}.

Passo 5

Basta simplificar a expressão:
\frac{\bigl(\frac{\operatorname{sen} x}{3}\bigr)^{2}}{1-\frac{\operatorname{sen} x}{3}} =\frac{\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{9}}{\frac{3-\operatorname{sen} x}{3}} =\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{9}\cdot\frac{3}{3-\operatorname{sen} x} =\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{9-3\,\operatorname{sen} x}.

Resposta

A série converge para todo x\in\mathbb{R} e sua soma é
\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{9-3\,\operatorname{sen} x}.

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