Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{n}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A soma é sobre
.
O objetivo é decidir convergência absoluta/condicional ou divergência (aqui basta decidir se converge ou diverge).
Passo 2
Primeiro faz uma simplificação algébrica do termo geral para enxergar o comportamento assintótico (para
grande). Use a técnica de “racionalizar” a diferença de raízes: multiplicar numerador e denominador por
. Assim,
Calculando o numerador temos
. Logo
Explicando a técnica: multiplicar pela soma das raízes tira a diferença de raízes do numerador transformando-a numa expressão racional (sem raízes no numerador), o que facilita estimativas assintóticas.
Passo 3
Agora vamos estudar o comportamento de
quando
. Uma boa ideia é comparar com uma série p (série do tipo
). Suspeitamos que
se comporte como
. Para provar isso calcule o limite
Usando a forma anterior de
,
Dividindo numerador e denominador por
(uma técnica padrão para extrair o comportamento principal),
Agora, aplicando limites (notando que
e
quando
),
Interpretação: isso mostra que
é assintoticamente equivalente a
. Em notação,
quando
.
Passo 4
Agora aplicamos um teste de comparação adequado. Vou usar o Teste da Comparação pelo limite (Limit Comparison Test), que diz: se
e
e
com
, então as séries
e
convergem ou divergem juntas.
Escolhe-se
. Já mostramos que
portanto
. Como
é uma série p com
, essa série converge (resultado clássico: série p converge se e somente se
). Pelo teste da comparação pelo limite, a série original converge também.
Comentário intuitivo: encontrar
significa que, para
grande,
tem praticamente a mesma ordem que
; como a série
converge, a dada também deve convergir.
Passo 5
Verificação rápida de detalhes: os termos
são não negativos para
(porque
), então o uso do teste de comparação é legítimo. A conclusão vale para toda a série a partir de
.
Resposta
A série é convergente.