Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{n}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{n}.
  • A soma é sobre n=1,2,3,\ldots.
O objetivo é decidir convergência absoluta/condicional ou divergência (aqui basta decidir se converge ou diverge).

Passo 2

Primeiro faz uma simplificação algébrica do termo geral para enxergar o comportamento assintótico (para n grande). Use a técnica de “racionalizar” a diferença de raízes: multiplicar numerador e denominador por \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}. Assim,
a_n=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{n} =\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})}{n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})} =\frac{(n+1)-(n-1)}{n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})}.
Calculando o numerador temos (n+1)-(n-1)=2. Logo
a_n=\frac{2}{n\big(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\big)}.
Explicando a técnica: multiplicar pela soma das raízes tira a diferença de raízes do numerador transformando-a numa expressão racional (sem raízes no numerador), o que facilita estimativas assintóticas.

Passo 3

Agora vamos estudar o comportamento de a_n quando n\to\infty. Uma boa ideia é comparar com uma série p (série do tipo \sum 1/n^p). Suspeitamos que a_n se comporte como 1/n^{3/2}. Para provar isso calcule o limite
\lim_{n\to\infty} n^{3/2} a_n.
Usando a forma anterior de a_n,
n^{3/2} a_n = n^{3/2}\cdot\frac{2}{n\big(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\big)} = \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}.
Dividindo numerador e denominador por \sqrt{n} (uma técnica padrão para extrair o comportamento principal),
\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} = \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}.
Agora, aplicando limites (notando que \sqrt{1+1/n}\to1 e \sqrt{1-1/n}\to1 quando n\to\infty),
\lim_{n\to\infty} n^{3/2} a_n = \frac{2}{1+1}=1.
Interpretação: isso mostra que a_n é assintoticamente equivalente a 1/n^{3/2}. Em notação, a_n\sim \dfrac{1}{n^{3/2}} quando n\to\infty.

Passo 4

Agora aplicamos um teste de comparação adequado. Vou usar o Teste da Comparação pelo limite (Limit Comparison Test), que diz: se a_n\ge0 e b_n>0 e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas.
Escolhe-se b_n=\dfrac{1}{n^{3/2}}. Já mostramos que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty} n^{3/2} a_n = 1,
portanto L=1\in(0,\infty). Como \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{3/2}} é uma série p com p=\tfrac{3}{2}>1, essa série converge (resultado clássico: série p converge se e somente se p>1). Pelo teste da comparação pelo limite, a série original converge também.
Comentário intuitivo: encontrar L=1 significa que, para n grande, a_n tem praticamente a mesma ordem que 1/n^{3/2}; como a série \sum 1/n^{3/2} converge, a dada também deve convergir.

Passo 5

Verificação rápida de detalhes: os termos a_n são não negativos para n\ge1 (porque \sqrt{n+1}\ge\sqrt{n-1}), então o uso do teste de comparação é legítimo. A conclusão vale para toda a série a partir de n=1.

Resposta

A série é convergente.

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