Ao fazer n\to\infty temos \sqrt{n}\to\infty e 1+\tfrac{1}{n}\to1. Portanto
\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+1}=0.
Comentário rápido: para que uma série com termos alternantes possa convergir pelo teste clássico, é preciso ao menos que a_n\to0; aqui isso ocorre.
Passo 3
Precisamos saber se a sequência (a_n) é monotonicamente decrescente (pelo menos a partir de algum N), porque o teste das séries alternantes (teste de Leibniz) exige duas coisas: (i) a_n\ge0, (ii) a_n é decrescente e (iii) a_n\to0. Já temos (i) e (iii). Vamos checar (ii).
Considere a função contínua
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1},\qquad x\ge1.
Calcule a derivada f'(x). Usando derivada de \sqrt{x}=x^{1/2}:
Para x>1 temos 1-x<0, e o denominador é positivo, então f'(x)<0 para todo x>1. Isso mostra que f é estritamente decrescente em (1,\infty). Consequentemente, a sequência a_n=f(n) é decrescente para n\ge2. Assim, a condição de monotonicidade do teste de Leibniz é satisfeita (a partir de n=2).
Passo 4
Aplicar o teste das séries alternantes (Leibniz): se (a_n) é uma sequência positiva, decrescente (a partir de algum índice) e com \lim_{n\to\infty}a_n=0, então a série alternante \sum (-1)^{n-1}a_n converge. Já verificamos essas condições, logo a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sqrt{n}}{n+1}
é convergente.
Mas falta verificar se é convergente absolutamente ou só condicionalmente. Para isso, olhamos a série dos valores absolutos:
Como o limite é um número finito e positivo, a série \sum \dfrac{\sqrt{n}}{n+1} tem o mesmo comportamento de \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Mas \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sum n^{-1/2} é uma p-série com p=\tfrac{1}{2}\le1, portanto diverge. Logo \sum \dfrac{\sqrt{n}}{n+1} também diverge.
Passo 6
Conclusão combinada: a série original é convergente (pelo teste de Leibniz) mas a série dos módulos diverge; portanto a convergência não é absoluta. Em linguagem padrão: a série converge condicionalmente.
Força aí — você já tem a receita para resolver séries alternantes parecidas na prova: (1) cheque se os termos vão a zero; (2) verifique monotonicidade (derivada é um truque rápido); (3) se passar, aplica Leibniz; (4) para saber se é absoluta, compare com uma p-série (ou faça comparação limite).
Resposta
A série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).