Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{\sqrt{n}}{n+1}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sqrt{n}}{n+1}
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Informações relevantes que temos imediatamente:
  • O termo geral (sem o sinal alternante) é a_n=\dfrac{\sqrt{n}}{n+1}.
  • O fator (-1)^{n-1} torna a série alternante (os sinais dos termos trocam de sinal a cada n).
  • Precisamos decidir entre: divergente, convergente absolutamente, ou convergente condicionalmente.

Passo 2

Verificar a condição necessária: os termos vão a zero? Calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n.
Escrevendo a_n de forma conveniente:
a_n=\frac{\sqrt{n}}{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n}\,(1+\tfrac{1}{n})}.
Ao fazer n\to\infty temos \sqrt{n}\to\infty e 1+\tfrac{1}{n}\to1. Portanto
\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+1}=0.
Comentário rápido: para que uma série com termos alternantes possa convergir pelo teste clássico, é preciso ao menos que a_n\to0; aqui isso ocorre.

Passo 3

Precisamos saber se a sequência (a_n) é monotonicamente decrescente (pelo menos a partir de algum N), porque o teste das séries alternantes (teste de Leibniz) exige duas coisas: (i) a_n\ge0, (ii) a_n é decrescente e (iii) a_n\to0. Já temos (i) e (iii). Vamos checar (ii).
Considere a função contínua
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1},\qquad x\ge1.
Calcule a derivada f'(x). Usando derivada de \sqrt{x}=x^{1/2}:
f'(x)=\frac{\tfrac{1}{2}x^{-1/2}(x+1)-x^{1/2}}{(x+1)^2}.
Simplificando o numerador:
\tfrac{1}{2}x^{-1/2}(x+1)-x^{1/2}=\frac{x+1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}=\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}}.
Logo
f'(x)=\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^2}.
Para x>1 temos 1-x<0, e o denominador é positivo, então f'(x)<0 para todo x>1. Isso mostra que f é estritamente decrescente em (1,\infty). Consequentemente, a sequência a_n=f(n) é decrescente para n\ge2. Assim, a condição de monotonicidade do teste de Leibniz é satisfeita (a partir de n=2).

Passo 4

Aplicar o teste das séries alternantes (Leibniz): se (a_n) é uma sequência positiva, decrescente (a partir de algum índice) e com \lim_{n\to\infty}a_n=0, então a série alternante \sum (-1)^{n-1}a_n converge. Já verificamos essas condições, logo a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sqrt{n}}{n+1}
é convergente.
Mas falta verificar se é convergente absolutamente ou só condicionalmente. Para isso, olhamos a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sqrt{n}}{n+1}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+1}.

Passo 5

Testar convergência absoluta: comparar \dfrac{\sqrt{n}}{n+1} com \dfrac{1}{\sqrt{n}} (uma p-série conhecida).
Faça a comparação-limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\sqrt{n}}{n+1}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.
Como o limite é um número finito e positivo, a série \sum \dfrac{\sqrt{n}}{n+1} tem o mesmo comportamento de \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Mas \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sum n^{-1/2} é uma p-série com p=\tfrac{1}{2}\le1, portanto diverge. Logo \sum \dfrac{\sqrt{n}}{n+1} também diverge.

Passo 6

Conclusão combinada: a série original é convergente (pelo teste de Leibniz) mas a série dos módulos diverge; portanto a convergência não é absoluta. Em linguagem padrão: a série converge condicionalmente.
Força aí — você já tem a receita para resolver séries alternantes parecidas na prova: (1) cheque se os termos vão a zero; (2) verifique monotonicidade (derivada é um truque rápido); (3) se passar, aplica Leibniz; (4) para saber se é absoluta, compare com uma p-série (ou faça comparação limite).

Resposta

A série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).

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