Determine se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência de termos gerais é
para . - Cada termo usa a função seno aplicada a
, que tende a quando .\n
Pergunta explícita: a sérieconverge ou diverge?
Passo 2
Observação inicial e escolha do método (explicando o raciocínio): os termos são positivos (pois
e
para
), então faz sentido comparar com a série harmônica
. Intuição: para
pequeno temos
aproximadamente igual a
, então esperamos que
se comporte como
quando
é grande. Assim vamos usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com
.
Passo 3
Lembrete sobre a série de referência: a série harmônica
é conhecida por divergir. Ou seja,
diverge.
Passo 4
Queremos calcular o limite
Faça a substituição
. Quando
temos
. Assim o limite acima é igual a
Passo 5
Cálculo do limite
usando desigualdades clássicas (teorema do sanduíche / squeeze): para
temos a desigualdade geométrica
Dividindo tudo por
e lembrando que
, obtemos
Rearranjando a segunda desigualdade dá
Portanto, para
,
Como
, pelo teorema do sanduíche segue que
Logo voltando à variável
,
Passo 6
Aplicação do teste da comparação por limite: o teste diz que se
,
e
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem ou ambas divergem). Aqui
,
e o limite é
(positivo e finito). Como já sabemos que
(a série harmônica) diverge, conclui-se que
também diverge.
Passo 7
Comentário final e intuição: intuitivamente, para
grande
, e como somar
dá divergência (muito famoso), somar algo que se comporta igual também diverge. Fica a dica: na prova, lembrar do fato
e do teste de comparação por limite é suficiente para resolver rapidamente esse tipo de questão.
Resposta
A série
é divergente.