Determine se a série é convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{+\infty} \sin \left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \sum_{n=1}^{+\infty} \sin\left(\frac{1}{n}\right) é convergente ou divergente.\n
Informações dadas:
  • A sequência de termos gerais é a_n=\sin\left(\frac{1}{n}\right) para n=1,2,3,\dots.
  • Cada termo usa a função seno aplicada a \frac{1}{n}, que tende a 0 quando n\to\infty.\n
    Pergunta explícita: a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{1}{n}\right) converge ou diverge?

Passo 2

Observação inicial e escolha do método (explicando o raciocínio): os termos são positivos (pois \tfrac{1}{n}>0 e \sin x>0 para x\in(0,\pi)), então faz sentido comparar com a série harmônica \sum \tfrac{1}{n}. Intuição: para x pequeno temos \sin x aproximadamente igual a x, então esperamos que \sin\left(\tfrac{1}{n}\right) se comporte como \tfrac{1}{n} quando n é grande. Assim vamos usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com b_n=\tfrac{1}{n}.

Passo 3

Lembrete sobre a série de referência: a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
é conhecida por divergir. Ou seja, \sum b_n diverge.

Passo 4

Queremos calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}.
Faça a substituição x=\frac{1}{n}. Quando n\to\infty temos x\to 0^+. Assim o limite acima é igual a
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}.

Passo 5

Cálculo do limite \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{x} usando desigualdades clássicas (teorema do sanduíche / squeeze): para x\in(0,\tfrac{\pi}{2}) temos a desigualdade geométrica
\sin x < x < \tan x.
Dividindo tudo por x e lembrando que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, obtemos
\frac{\sin x}{x} < 1 \quad\text{e}\quad \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Rearranjando a segunda desigualdade dá
\cos x < \frac{\sin x}{x}.
Portanto, para x\in(0,\tfrac{\pi}{2}),
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Como \lim_{x\to 0^+}\cos x = 1, pelo teorema do sanduíche segue que
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x} = 1.
Logo voltando à variável n,
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}} = 1.

Passo 6

Aplicação do teste da comparação por limite: o teste diz que se a_n>0, b_n>0 e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem ou ambas divergem). Aqui a_n=\sin\left(\frac{1}{n}\right), b_n=\frac{1}{n} e o limite é L=1 (positivo e finito). Como já sabemos que \sum b_n (a série harmônica) diverge, conclui-se que \sum a_n também diverge.

Passo 7

Comentário final e intuição: intuitivamente, para n grande \sin\left(\tfrac{1}{n}\right)\approx \tfrac{1}{n}, e como somar \tfrac{1}{n} dá divergência (muito famoso), somar algo que se comporta igual também diverge. Fica a dica: na prova, lembrar do fato \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 e do teste de comparação por limite é suficiente para resolver rapidamente esse tipo de questão.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{1}{n}\right) é divergente.

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