A tarefa é decompor a função racional em frações mais simples (cada uma integrável diretamente) e então integrar termo a termo.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando temos uma função racional cuja denominação fatorou em fatores lineares e/ou quadráticos irreduzíveis, decompondo-a em frações parciais obtemos somas de termos do tipo A/(x-a) (para fatores lineares) e (Bx+C)/(x^{2}+1) (para fatores quadráticos irreduzíveis). Cada termo desses tem uma primitiva conhecida: logaritmo para 1/(x-a) e arctan ou log para quadráticos do tipo x^{2}+1, dependendo da forma do numerador.
No nosso caso, o denominador tem um fator linear (x-1) e um quadrático irreduzível (x^{2}+1). Então a forma geral da decomposição é
onde A,B,C são constantes reais desconhecidas que vamos determinar. Aqui A é um número (constante) associado ao fator linear e Bx+C é o numerador geral de grau menor que 2 para o fator quadrático.
Passo 3
Vamos determinar A,B,C\). Multiplicamos ambos os lados da identidade pelo denominador \((x-1)(x^{2}+1)\) para obter uma igualdade de polinômios:
\[2x^{2}+3x+1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-1).
Agora expandimos o lado direito passo a passo.
Primeiro:
A(x^{2}+1) = A x^{2} + A.
Segundo:
(Bx+C)(x-1)=Bx^{2} + Cx - Bx - C = Bx^{2}+(C-B)x - C.