Questão 4. Calcule a integral a seguir, usando o método de frações parciais:
\int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}\,dx
usando o método de frações parciais. As informações relevantes são:
\text{numerador: }2x^{2}+3x+1, \qquad \text{denominador: }(x-1)(x^{2}+1).
A tarefa é decompor a função racional em frações mais simples (cada uma integrável diretamente) e então integrar termo a termo.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando temos uma função racional cuja denominação fatorou em fatores lineares e/ou quadráticos irreduzíveis, decompondo-a em frações parciais obtemos somas de termos do tipo A/(x-a) (para fatores lineares) e (Bx+C)/(x^{2}+1) (para fatores quadráticos irreduzíveis). Cada termo desses tem uma primitiva conhecida: logaritmo para 1/(x-a) e arctan ou log para quadráticos do tipo x^{2}+1, dependendo da forma do numerador.
No nosso caso, o denominador tem um fator linear (x-1) e um quadrático irreduzível (x^{2}+1). Então a forma geral da decomposição é
\frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1},
onde A,B,C são constantes reais desconhecidas que vamos determinar. Aqui A é um número (constante) associado ao fator linear e Bx+C é o numerador geral de grau menor que 2 para o fator quadrático.

Passo 3

Vamos determinar A,B,C\). Multiplicamos ambos os lados da identidade pelo denominador \((x-1)(x^{2}+1)\) para obter uma igualdade de polinômios: \[2x^{2}+3x+1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-1).
Agora expandimos o lado direito passo a passo.
Primeiro:
A(x^{2}+1) = A x^{2} + A.
Segundo:
(Bx+C)(x-1)=Bx^{2} + Cx - Bx - C = Bx^{2}+(C-B)x - C.
Somando:
A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-1) = (A+B)x^{2} + (C-B)x + (A-C).
Comparando coeficientes com o polinômio do lado esquerdo 2x^{2}+3x+1, obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A+B = 2,\\[4pt] C-B = 3,\\[4pt] A-C = 1. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação B=2-A\]. Da terceira \(C=A-1. Substituindo essas duas na segunda:
(A-1)-(2-A)=3.
Calculando o lado esquerdo:
A-1-2+A=2A-3.
Logo
2A-3=3 \implies 2A=6 \implies A=3.
Agora B=2-A=2-3=-1. E C=A-1=3-1=2.
Portanto A=3, B=-1, C=2.]

Passo 4

Substituindo os valores obtidos na decomposição inicial, temos
\frac{2 x^{2}+3 x+1}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}=\frac{3}{x-1}+\frac{-x+2}{x^{2}+1}.
É conveniente dividir o segundo termo em duas partes para integrar facilmente:
\frac{-x+2}{x^{2}+1} = -\frac{x}{x^{2}+1} + \frac{2}{x^{2}+1}.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Lembrando as primitivas básicas (explicando cada uma):
  • A primitiva de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a|. Mais precisamente, \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C.
  • Para \dfrac{x}{x^{2}+1}, usamos a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx e \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + C.
  • Para \dfrac{1}{x^{2}+1}, a primitiva é a função arco-tangente: \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C.
Aplicando essas regras:
  1. \displaystyle \int \frac{3}{x-1}\,dx = 3\int \frac{1}{x-1}\,dx = 3\ln|x-1|.
  2. \displaystyle \int -\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = -\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) (usando u=x^{2}+1 como explicado).
  3. \displaystyle \int \frac{2}{x^{2}+1}\,dx = 2\arctan x.
Somando as três contribuições, a primitiva geral é
3\ln|x-1| -\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1) + 2\arctan x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

3\ln|x-1| -\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right) + 2\arctan x + C

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