Determine se a série é convergente ou divergente.
sumk=0^infty k sen^2 k1+k^3

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos a convergência da série de termos positivos sumk=0^infty ksin^2k1+k^3. O conteúdo da matéria aqui é o teste de comparação para séries de termos positivos, e vamos precisar conhecer a convergência da p-série sum1/k^p.

Passo 2

Observamos que para todo inteiro k, vale 0<=sin^2k<=1, então o numerador ksin^2k satisfaz 0<= ksin^2k<= k.
Para k>=1, temos 1+k^3>= k^3. Logo
0<= ksin^2k1+k^3<=kk^3=1k^2

Passo 3

Sabendo que a p-série sumk=1^infty1k^2 converge (pois p=2>1), pela comparação direta concluímos que a série dada também converge.

Resposta

Convergente.

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