Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
sumn=1^infty tg(1 / n)

Passo 1

O problema pede para a gente decidir se a série sumn=1^infty tan(1/n) é absolutamente convergente ou divergente. O assunto é testes de convergência de séries numéricas e vamos precisar comparar tan(1/n) com algo mais simples, como 1/n.

Passo 2

Para grandes valores de n, o argumento 1/n é pequeno. Lembrando que, quando xto 0, temos a expansão tan(x)sim x. Isso significa que para n grande
tanl(1/nr)approx 1/n,
ou seja, os termos da nossa série se comportam como os da série harmônica sum 1/n.

Passo 3

Vamos formalizar isso usando o teste da comparação limite. Considere
L=limntoinfty tan(1/n)1/n

Passo 4

Como tan(x)/xto 1 quando xto 0, basta notar que 1/nto 0. Logo,
L=limntoinfty tan(1/n)1/n=1

Passo 5

Pelo teste de comparação limite, como L é finito e não nulo, nossa série tem o mesmo comportamento que sum1/n, que é divergente.
Portanto, a série sumn=1^inftytan(1/n) diverge e, consequentemente, não é absolutamente convergente.

Resposta

A série diverge e não é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados