Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 12^n+sen(n)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty 12^n+sin(n) converge ou diverge. Esse é um tópico de séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação de séries (especialmente o teste de comparação por limite) e o fato de conhecermos a série geométrica sum 1/2^n.

Passo 2

Note que sin(n) é sempre um valor entre -1 e +1. Assim, para todo n, temos
2^n - 1 <= 2^n + sin(n) <= 2^n + 1
Isso sugere que o termo geral
an = 12^n + sin(n)
se comporta de forma semelhante a
bn = 12^n

Passo 3

Vamos aplicar o teste de comparação por limite. Calculamos
limntoinfty anbn = limntoinfty 12^n + sin(n)12^n = limntoinfty 2^n2^n + sin(n) = 1
Como esse limite é um número finito e não nulo, a série sum an e a série sum bn têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Lembrando que sumn=1^infty 12^n é uma série geométrica com razão r = tfrac12, e como |r|<1, essa série converge. Pelo teste de comparação por limite, nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 12^n+sin(n) é convergente.

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