Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Esse é um tópico de séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação de séries (especialmente o teste de comparação por limite) e o fato de conhecermos a série geométrica
.
Passo 2
Note que
é sempre um valor entre
e
. Assim, para todo
, temos
Isso sugere que o termo geral
se comporta de forma semelhante a
Passo 3
Vamos aplicar o teste de comparação por limite. Calculamos
Como esse limite é um número finito e não nulo, a série
e a série
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 4
Lembrando que
é uma série geométrica com razão
, e como
, essa série converge. Pelo teste de comparação por limite, nossa série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.