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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide
, curva plana parametrizada por
Determine a relação entre o parâmetro
e o ângulo polar
. Mostre que a função
é crescente no intervalo
.
Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide
Passo 1
Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma curva chamada astroid, que é descrita por duas equações paramétricas:
O que precisamos fazer é:
- Determinar a relação entre o parâmetro
e o ângulo polar . - Mostrar que a função
está crescendo no intervalo .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e derivadas para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. Em coordenadas polares, temos:
Aqui,
é a distância da origem até o ponto
e
é o ângulo formado com o eixo positivo
.
Passo 3
Queremos encontrar a relação entre
e
. Para isso, vamos substituir as equações paramétricas na forma polar:
Dividindo as duas equações, temos:
Portanto, a relação entre
e
é:
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a função
é crescente no intervalo
. Para isso, precisamos verificar o sinal da derivada
nesse intervalo.
Primeiro, derivamos ambos os lados da relação
em relação a
:
Isolando
:
Sabemos que
.
Portanto:
Passo 5
Vamos analisar o sinal de
no intervalo
.
Nesse intervalo:
-
varia de a . -
é sempre não negativa. -
e são sempre positivas.
Portanto, todo o numerador e denominador são positivos, o que implica que
no intervalo considerado.
Resposta
Concluímos que
e que a função
é crescente no intervalo
.