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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide A subset R^2, curva plana parametrizada por
x=cos ^3(t), y=sen^3(t), 0 <= t <= 2 pi
Determine a relação entre o parâmetro t e o ângulo polar theta. Mostre que a função theta=theta(t) é crescente no intervalo [-pi2, pi2].

Passo 1

Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma curva chamada astroid, que é descrita por duas equações paramétricas:
x = cos^3(t), y = sin^3(t), 0 <= t <= 2pi
O que precisamos fazer é:
  1. Determinar a relação entre o parâmetro e o ângulo polar .
  2. Mostrar que a função está crescendo no intervalo .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e derivadas para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas x = r cos(theta), y = r sin(theta) para coordenadas polares . Em coordenadas polares, temos:
Aqui, é a distância da origem até o ponto e é o ângulo formado com o eixo positivo .

Passo 3

Queremos encontrar a relação entre cos^3(t) = r cos(theta), sin^3(t) = r sin(theta) e sin^3(t)cos^3(t) = r sin(theta)r cos(theta) Rightarrow tan^3(t) = tan(theta) . Para isso, vamos substituir as equações paramétricas na forma polar:
tan(theta) = tan^3(t)
Dividindo as duas equações, temos:
Portanto, a relação entre e é:

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a função sec^2(theta) cdot dthetadt = 3 tan^2(t) cdot sec^2(t) é crescente no intervalo dthetadt = 3 tan^2(t) cdot sec^2(t)sec^2(theta) . Para isso, precisamos verificar o sinal da derivada dthetadt = 3 tan^2(t) cdot (1 + tan^2(t))1 + tan^6(t) nesse intervalo.
Primeiro, derivamos ambos os lados da relação em relação a :
Isolando :
Sabemos que .
Portanto:

Passo 5

Vamos analisar o sinal de no intervalo .
Nesse intervalo:
  • varia de a .
  • é sempre não negativa.
  • e são sempre positivas.
Portanto, todo o numerador e denominador são positivos, o que implica que no intervalo considerado.

Resposta

Concluímos que e que a função é crescente no intervalo .

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