Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty n^2 n(1+2 n^2)^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty n^2n(1+2n^2)^n converge ou diverge. É um exercício de séries de termos positivos e vamos precisar usar o critério da raiz, que avalia limntoinftyraiz[n]an.

Passo 2

Pelo critério da raiz, calculamos raiz[n]an = raiz[n]n^2n(1+2n^2)^n. Usando propriedades de potências, temos
raiz[n]n^2n = n^2
e
raiz[n](1+2n^2)^n = 1 + 2n^2
Portanto
raiz[n]an = n^21 + 2n^2

Passo 3

Para encontrar o limite quando ntoinfty, dividimos numerador e denominador por n^2:
n^21 + 2n^2 = 12 + 1/n^2
Como 1/n^2 to 0, o limite fica 1/(2+0)=1/2.

Passo 4

O critério da raiz afirma que se L = limntoinftyraiz[n]an < 1, a série converge absolutamente. Aqui encontramos L = 1/2 < 1, logo a série converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo critério da raiz).

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