Determine se a série é convergente ou divergente:
sumn=1^infty e^arctg(n)n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty e^arctg(n)n^2+1 é convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas e vamos usar o teste de comparação com a p-série.

Passo 2

Como 0, temos 0. Assim,
$ \frac{e{\operatorname{arctg}(n)}}{n2+1} \le \frac{e{\pi/2}}{n2+1} \le \frac{e{\pi/2}}{n2}.$

Passo 3

Sabemos que a p-série sumn=1^infty1n^2 converge pois p=2>1. Logo, pelo teste da comparação, a série dada converge.

Resposta

A série é convergente.

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