Determine se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas e vamos usar o teste de comparação com a p-série.
Passo 2
Como
, temos
. Assim,
$ \frac{e{\operatorname{arctg}(n)}}{n2+1} \le \frac{e{\pi/2}}{n2+1} \le \frac{e{\pi/2}}{n2}.$
$ \frac{e{\operatorname{arctg}(n)}}{n2+1} \le \frac{e{\pi/2}}{n2+1} \le \frac{e{\pi/2}}{n2}.$
Passo 3
Sabemos que a p-série
converge pois
. Logo, pelo teste da comparação, a série dada converge.
Resposta
A série é convergente.