Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 2^3 nn^n

Passo 1

O enunciado pede para classificar se a série sumn=1^infty(-1)^n-12^3nn^n é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve testes de convergência de séries infinitas, em especial o teste da raiz para avaliar convergência absoluta.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, primeiro escrevemos a série de termos absolutos: |an| = 2^3nn^n = 8^nn^n. O teste da raiz diz que devemos calcular L = limntoinfty raiz[n]|an|. Se L<1, a série de termos absolutos converge.

Passo 3

Calculando o limite do teste da raiz:
raiz[n]|an| = raiz[n]8^nn^n = 8n

Passo 4

Portanto
L = limntoinfty 8n = 0

Passo 5

Como L = 0 < 1, a série de termos absolutos sum 8^nn^n converge. Isso implica que a série original converge absolutamente, e não há necessidade de testar convergência condicional.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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