Determine as derivadas parciais, o módulo do seu produto vetorial e o vetor normal unitário das superfícies obtidas como gráficos das funções
z=x^2+y^2 e x=sin (y)+z y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies definidas por funções:
O conteúdo aqui envolve derivadas parciais, produto vetorial e vetor normal unitário. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada função em relação às suas variáveis, encontrar o produto vetorial desses vetores derivados e, por fim, determinar o vetor normal unitário às superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da primeira função partial zpartial x = 2x .
As derivadas parciais são:
  • Derivada parcial de partial zpartial y = 2y em relação a :
  • Derivada parcial de em relação a :
Essas derivadas nos dão o vetor gradiente da superfície , que é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da segunda função z = x - sin(y)y .
Primeiro, reorganizamos a equação para deixá-la em termos de partial zpartial x = 1y :
partial zpartial y = -x - sin(y)y^2 - cos(y)y
Assumindo que , as derivadas parciais são:
  • Derivada parcial de em relação a :
  • Derivada parcial de em relação a :
O vetor gradiente da superfície é então .

Passo 4

Com os vetores gradiente das duas superfícies, podemos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores A times B = ( Ay Bz - Az By, Az Bx - Ax Bz, Ax By - Ay Bx ) e N = nabla z times nabla x é dado por:
Calculando o produto vetorial dos gradientes encontrados:
Isso nos dará um vetor perpendicular às duas superfícies.

Passo 5

Após encontrar o vetor |N| = raizNx^2 + Ny^2 + Nz^2 pelo produto vetorial, precisamos calcular o módulo desse vetor, que representa a área do paralelogramo definido por . O módulo é dado por:
Isso nos fornece o tamanho do vetor normal.

Passo 6

Finalmente, para obter o vetor normal unitário, dividimos cada componente do vetor n = N|N| pelo seu módulo:
Esse vetor terá comprimento igual a 1 e indicará a direção perpendicular às superfícies.

Resposta

As derivadas parciais das superfícies são e para a primeira função, e e para a segunda. O módulo do produto vetorial é calculado como e o vetor normal unitário é .

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