Determine as derivadas parciais, o módulo do seu produto vetorial e o vetor normal unitário das superfícies obtidas como gráficos das funções
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies definidas por funções:
O conteúdo aqui envolve derivadas parciais, produto vetorial e vetor normal unitário. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada função em relação às suas variáveis, encontrar o produto vetorial desses vetores derivados e, por fim, determinar o vetor normal unitário às superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da primeira função
.
As derivadas parciais são:
- Derivada parcial de
em relação a : - Derivada parcial de
em relação a :
Essas derivadas nos dão o vetor gradiente da superfície
, que é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da segunda função
.
Primeiro, reorganizamos a equação para deixá-la em termos de
:
Assumindo que
, as derivadas parciais são:
- Derivada parcial de
em relação a : - Derivada parcial de
em relação a :
O vetor gradiente da superfície
é então
.
Passo 4
Com os vetores gradiente das duas superfícies, podemos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Calculando o produto vetorial dos gradientes encontrados:
Isso nos dará um vetor perpendicular às duas superfícies.
Passo 5
Após encontrar o vetor
pelo produto vetorial, precisamos calcular o módulo desse vetor, que representa a área do paralelogramo definido por
. O módulo é dado por:
Isso nos fornece o tamanho do vetor normal.
Passo 6
Finalmente, para obter o vetor normal unitário, dividimos cada componente do vetor
pelo seu módulo:
Esse vetor terá comprimento igual a 1 e indicará a direção perpendicular às superfícies.
Resposta
As derivadas parciais das superfícies são
e
para a primeira função, e
e
para a segunda. O módulo do produto vetorial é calculado como
e o vetor normal unitário é
.