Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico. (Lembre que a curva de nível de
correspondendo ao nível
possui equação
constante).
Dica: primeiro encontre a imagem de
.
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Dica: primeiro encontre a imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar as curvas de nível da função $ f(x, y) = 1 + x^2 + y^2 $ e esboçar o gráfico dela. As curvas de nível são basicamente as “fatias” da função para diferentes valores de $ z $ (ou seja, $ z = c $, onde $ c $ é uma constante). Para resolver isso, a gente precisa entender um pouquinho de geometria analítica, especialmente sobre círculos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a imagem da função $ f $. A imagem de uma função são todos os possíveis valores que $ f(x, y) $ pode assumir. Olhando para a nossa função $ f(x, y) = 1 + x^2 + y^2 $, percebemos que $ x^2 $ e $ y^2 $ são sempre maiores ou iguais a zero. Então, o menor valor que $ f(x, y) $ pode ter é quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $, ou seja, $ f(0, 0) = 1 $. Como $ x^2 + y^2 $ pode crescer indefinidamente, a imagem de $ f $ é todos os números reais maiores ou iguais a 1. Matemáticamente, isso é escrito como $ f(x, y) \geq 1 $.
Passo 3
Agora, vamos desenhar as curvas de nível. A curva de nível para um valor $ c $ fixo é dada por $ f(x, y) = c $. Então, substituindo na nossa função:
Vamos rearranjar essa equação para isolar $ x^2 + y^2 $:
Passo 4
Essa equação $ x^2 + y^2 = c - 1 $ representa um círculo com raio $ r = \sqrt{c - 1} $ e centro na origem
. Para que o raio faça sentido (ou seja, seja um número real), precisamos que $ c - 1 \geq 0 $, o que já sabemos que é verdade porque $ c \geq 1 $.
Passo 5
Então, cada curva de nível é um círculo com centro na origem e raio variando conforme o valor de $ c $. Quanto maior o $ c $, maior o raio do círculo. Por exemplo:
- Para $ c = 1 $: $ r = \sqrt{1 - 1} = 0 $ (apenas o ponto
) - Para $ c = 2 $: $ r = \sqrt{2 - 1} = 1 $
- Para $ c = 5 $: $ r = \sqrt{5 - 1} = 2 $
- E assim por diante…
Passo 6
Para esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = 1 + x^2 + y^2 $, imagine uma superfície que se abre para cima, como uma tigela. Cada nível $ c $ representa um “anel” ou círculo nessa tigela. Conforme aumentamos $ c $, os círculos ficam maiores, mostrando que a função cresce à medida que nos afastamos da origem.
Resposta
As curvas de nível de $ f(x, y) = 1 + x^2 + y^2 $ são círculos concêntricos com centro na origem e raio $ \sqrt{c - 1} $ para $ c \geq 1 $. O gráfico da função é um paraboloide circular que se abre para cima, formando “aneles” maiores conforme $ z $ aumenta.