Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)5^n n!

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty 1cdot3cdot5cdots(2n-1)5^n,n! converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries infinitas e vamos usar o teste da razão. Para isso, vamos precisar expressar o produto de números ímpares em termos de fatoriais e depois aplicar o critério da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o produto 1cdot3cdot5cdots(2n-1) usando fatoriais. Sabemos que o duplo fatorial (2n-1)!! satisfaz
1cdot3cdot5cdots(2n-1)=(2n)!2^n,n!

Passo 3

Substituindo esse resultado no termo geral da série, obtemos
an = 1cdot3cdotcdots,(2n-1)5^n,n! = (2n)!2^n,n!,5^n,n! = (2n)!10^n,(n!)^2 = binom2nn10^n

Passo 4

Agora, aplicamos o teste da razão: calculamos L=limntoinfty l|an+1/anr|.
an+1an = binom2n+2n+110^n+1 ;/; binom2nn10^n = binom2n+2n+1binom2nncdot110

Passo 5

Sabendo que
binom2n+2n+1binom2nn = (2n+2)(2n+1)(n+1)^2,
segue que
L = limntoinfty (2n+2)(2n+1)(n+1)^2cdot110 = 410 = 0.4

Passo 6

Como L<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados