Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^nraizn+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série sumn=1^infty (-1)^nraizn+1. O conteúdo que vamos usar é o teste de séries alternadas (teste de Leibniz), que exige termos de sinal alternado, módulo decrescente e que tenda a zero.

Passo 2

Definimos an = 1raizn+1. Observe que an>0. Para ver que an é decrescente, considere a função f(x)=1/raizx+1; temos f'(x)=-tfrac12(x+1)^3/2<0, logo an+1. Além disso, limntoinftyan=0.

Passo 3

Como a sequência (an) é positiva, decrescente e limntoinftyan=0, pelo teste de Leibniz a série alternada sumn=1^infty(-1)^n an converge.

Passo 4

Para ver que não há convergência absoluta, analisamos sumn=1^infty|(-1)^n/raizn+1|=sumn=1^infty1raizn+1. Esta é uma série-p com p=1/2<=1, logo diverge. Portanto a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas diverge em valor absoluto).

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