Nome Legível:
Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 1. (1,0 ponto para cada item) Considere a limaçon
, curva polar dada pela equação
Determine a área do laço interno da curva
.
Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 1. (1,0 ponto para cada item) Considere a limaçon
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área do laço interno da curva conhecida como limaçon, que é dada pela equação polar
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo em coordenadas polares, especificamente a fórmula para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quando essa curva forma um laço interno. Isso acontece quando
. Vamos resolver a equação
:
Os valores de
que satisfazem essa equação são
e
. Esses são os limites de integração para calcular a área do laço interno.
Passo 3
Agora, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Substituindo
pela equação da limaçon e os limites que encontramos:
Passo 4
Vamos expandir o quadrado para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 5
Integramos termo a termo:
Então, a integral completa é:
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão nos limites
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Subtraímos os resultados:
Multiplicando pela
da fórmula inicial:
Resposta
A área do laço interno da curva
é
unidades de área.