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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 1. (1,0 ponto para cada item) Considere a limaçon C subset R^2, curva polar dada pela equação
r=1+2 cos (theta)
Determine a área do laço interno da curva C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área do laço interno da curva conhecida como limaçon, que é dada pela equação polar . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo em coordenadas polares, especificamente a fórmula para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quando essa curva forma um laço interno. Isso acontece quando 1 + 2cos(theta) = 0 implies cos(theta) = -12 . Vamos resolver a equação :
Os valores de que satisfazem essa equação são e . Esses são os limites de integração para calcular a área do laço interno.

Passo 3

Agora, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Área = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta Á
Substituindo Área = 12 integral2pi3^4pi3 (1 + 2cos(theta))^2 , dtheta pela equação da limaçon e os limites que encontramos:
Á

Passo 4

Vamos expandir o quadrado para facilitar a integração:
(1 + 2cos(theta))^2 = 1 + 4cos(theta) + 4cos^2(theta)
Então, a integral fica:
12 integral2pi3^4pi3 (1 + 4cos(theta) + 4cos^2(theta)) dtheta

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral 1 , dtheta = theta
integral 4cos(theta) , dtheta = 4sin(theta)
integral 4cos^2(theta) , dtheta = 4(theta2 + sin(2theta)4) = 2theta + sin(2theta)
Então, a integral completa é:
12 [ theta + 4sin(theta) + 2theta + sin(2theta) ] = 12 (3theta + 4sin(theta) + sin(2theta))

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão nos limites 3theta = 4pi e 4sin(4pi3) = 4 (-raiz32) = -2raiz3 :
Para sin(8pi3) = sin(2pi3) = raiz32 :
Total = 4pi - 2raiz3 + raiz32 = 4pi - 3raiz32
3theta = 2pi
4sin(2pi3) = 4 (raiz32) = 2raiz3
sin(4pi3) = -raiz32
Para Total = 2pi + 2raiz3 - raiz32 = 2pi + 3raiz32 :

Passo 7

Subtraímos os resultados:
(4pi - 3raiz32) - (2pi + 3raiz32) = 2pi - 3raiz3
Multiplicando pela Área = 12 (2pi - 3raiz3) = pi - 3raiz32 da fórmula inicial:
Á

Resposta

A área do laço interno da curva é unidades de área.

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