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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide
, curva plana parametrizada por
Calcule a área da região plana delimitada pela astroide.
Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma curva chamada astroide, que é uma curva plana definida pelas equações paramétricas:
O que a questão está pedindo é para calcular a área da região plana que essa astroide delimita. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente a fórmula para calcular áreas de curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área limitada por uma curva definida parametricamente. A fórmula que usamos é:
Onde:
-
e são funções de , -
e são as derivadas de e em relação a , -
e são os limites da parametrização, no nosso caso e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas
e
:
Dado que:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
,
e
na fórmula da área:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Observe que podemos fatorar a expressão:
Sabemos que , então:
Passo 6
Para integrar , podemos usar identidades trigonométricas. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar . Usamos a identidade:
Aplicando para
:
Substituindo na integral:
Passo 8
Separando a integral:
Vamos calcular cada parte:
-
-
(pois o cosseno é uma função periódica com integral nula em um período completo)
Então:
Resposta
A área da região plana delimitada pela astroide é
unidades de área.