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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 2. ( 0,5 ponto cada item) Considere a astroide A subset R^2, curva plana parametrizada por
x=cos ^3(t), y=sen^3(t), 0 <= t <= 2 pi
Calcule a área da região plana delimitada pela astroide.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma curva chamada astroide, que é uma curva plana definida pelas equações paramétricas:
O que a questão está pedindo é para calcular a área da região plana que essa astroide delimita. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente a fórmula para calcular áreas de curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área limitada por uma curva definida parametricamente. A fórmula que usamos é:
Área = 12 integrala^b (x cdot dydt - y cdot dxdt) , dt Á
Onde:
  • e são funções de ,
  • e são as derivadas de e em relação a ,
  • e são os limites da parametrização, no nosso caso e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas x = cos^3(t) y = sen^3(t) e dxdt = 3cos^2(t)(- sen(t)) = -3cos^2(t)sen(t) :
Dado que:
Calculando dydt = 3sen^2(t)cos(t) :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos substituir Área = 12 integral0^2pi [ cos^3(t) cdot 3sen^2(t)cos(t) - sen^3(t) cdot (-3cos^2(t)sen(t)) ] dt , Área = 12 integral0^2pi [ 3cos^4(t)sen^2(t) + 3cos^2(t)sen^4(t) ] dt , e na fórmula da área:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Observe que podemos fatorar a expressão:
Sabemos que , então:

Passo 6

Para integrar , podemos usar identidades trigonométricas. Sabemos que:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar . Usamos a identidade:
Aplicando para sen^2(x) = 1 - cos(2x)2 :
Substituindo na integral:
sen^2(2t) = 1 - cos(4t)2 Á

Passo 8

Separando a integral:
Área = 316 [ integral0^2pi 1 , dt - integral0^2pi cos(4t) , dt ] Á
Vamos calcular cada parte:
  1. Área = 316 (2pi - 0) = 316 cdot 2pi = 3pi8
  2. (pois o cosseno é uma função periódica com integral nula em um período completo)
Então:
Á

Resposta

A área da região plana delimitada pela astroide é unidades de área.

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