Determine se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
O enunciado pede para a gente determinar se a série
é convergente ou divergente. O assunto aqui é testes de convergência de séries de termos positivos e vamos usar o teste da comparação limite (limit comparison test).
Passo 2
Para aplicar o teste da comparação limite, escolhemos uma série referência cujo comportamento conhecemos. Como para grandes
temos
faz sentido comparar com a série harmônica
Passo 3
Agora calculamos o limite da razão entre o termo geral da nossa série
e o termo geral da harmônica
:
Passo 4
Esse limite dá
Passo 5
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo, o teste da comparação limite nos diz que nossa série e a série harmônica têm o mesmo comportamento: se uma diverge, a outra também diverge.
Portanto, concluímos que a série dada diverge.
Portanto, concluímos que a série dada diverge.
Resposta
A série diverge.