Determine se a série é convergente ou divergente:
sumn=1^infty n^22 n^3-1

Passo 1

O enunciado pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty n^22n^3-1 é convergente ou divergente. O assunto aqui é testes de convergência de séries de termos positivos e vamos usar o teste da comparação limite (limit comparison test).

Passo 2

Para aplicar o teste da comparação limite, escolhemos uma série referência cujo comportamento conhecemos. Como para grandes n temos
n^22n^3-1simn^22n^3=12n,
faz sentido comparar com a série harmônica sumn=1^infty1n, que sabemos diverge.

Passo 3

Agora calculamos o limite da razão entre o termo geral da nossa série an=n^22n^3-1 e o termo geral da harmônica bn=1n:
limntoinftyanbn=limntoinftyn^22n^3-11n=limntoinftyn^32n^3-1

Passo 4

Esse limite dá
limntoinftyn^32n^3-1=12

Passo 5

Como esse limite é um número finito e estritamente positivo, o teste da comparação limite nos diz que nossa série e a série harmônica têm o mesmo comportamento: se uma diverge, a outra também diverge.
Portanto, concluímos que a série dada diverge.

Resposta

A série diverge.

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