Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
A série é alternante, dada pela soma de termos (-1)^n a_n com a_n =
. O conteúdo é o teste de Leibniz (para série alternante) e o teste da comparação (para convergência absoluta). Vamos precisar mostrar que a_n > 0, que
é decrescente e tende a zero, e depois analisar
.
Passo 2
Primeiro, note que para todo n ≥ 1 temos a_n > 0 e
Passo 3
Agora, mostramos que (a_n) é decrescente para n grande. Considere a função f(x)=x2/(x3+2) para x>0. Calculando f’(x),
Passo 4
Para x ≥ 2, o numerador -x^4+4x ≤ -16+8 < 0, então f’(x)<0 e f é decrescente para n ≥ 2. Logo, a_n é decrescente a partir de n=2.
Passo 5
Pelos requisitos do teste de Leibniz (a_n > 0, a_n decrescente e
), a série alternante
converge.
Passo 6
Para verificar a convergência absoluta, considere a série de termos positivos
Passo 7
Fazendo o teste da comparação ou de comparação limite com 1/n, note que
Passo 8
Como ∑1/n diverge (série harmônica), pela comparação limite a série de termos absolutos também diverge.
Passo 9
Concluímos que a série original converge, mas não converge absolutamente, ou seja, é condicionalmente convergente.
Resposta
Condição: condensionalmente convergente.