Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n n^2n^3+2

Passo 1

A série é alternante, dada pela soma de termos (-1)^n a_n com a_n = n^2n^3+2. O conteúdo é o teste de Leibniz (para série alternante) e o teste da comparação (para convergência absoluta). Vamos precisar mostrar que a_n > 0, que an é decrescente e tende a zero, e depois analisar sum an.

Passo 2

Primeiro, note que para todo n ≥ 1 temos a_n > 0 e
limntoinfty an = limntoinfty n^2n^3+2 = limntoinfty 1n + 2/n^2 = 0

Passo 3

Agora, mostramos que (a_n) é decrescente para n grande. Considere a função f(x)=x2/(x3+2) para x>0. Calculando f’(x),
f'(x)=2x(x^3+2)-x^2(3x^2)(x^3+2)^2=2x^4+4x-3x^4(x^3+2)^2=-x^4+4x(x^3+2)^2

Passo 4

Para x ≥ 2, o numerador -x^4+4x ≤ -16+8 < 0, então f’(x)<0 e f é decrescente para n ≥ 2. Logo, a_n é decrescente a partir de n=2.

Passo 5

Pelos requisitos do teste de Leibniz (a_n > 0, a_n decrescente e lim an=0), a série alternante
sumn=1^infty(-1)^n n^2n^3+2
converge.

Passo 6

Para verificar a convergência absoluta, considere a série de termos positivos
sumn=1^infty n^2n^3+2

Passo 7

Fazendo o teste da comparação ou de comparação limite com 1/n, note que
limntoinfty n^2/(n^3+2)1/n = limntoinfty n^3n^3+2 =1

Passo 8

Como ∑1/n diverge (série harmônica), pela comparação limite a série de termos absolutos também diverge.

Passo 9

Concluímos que a série original converge, mas não converge absolutamente, ou seja, é condicionalmente convergente.

Resposta

Condição: condensionalmente convergente.

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