Determine se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Temos a série
. O conteúdo é teste de convergência de séries pelo teste da razão e precisaremos calcular o quociente entre termos consecutivos.
Passo 2
Definimos
e montamos o quociente
.
Passo 3
Calculamos o quociente:
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1){n+1}}{(n+1)!}}{\frac{nn}{n!}} = \frac{(n+1){n+1}}{(n+1),nn} = \Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{n}
$$
Passo 4
Avaliamos o limite quando
:
$$\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{n} = e
$$
Passo 5
Como o limite do quociente é
, pelo teste da razão a série diverge.
Resposta
A série diverge.