Determine se a série é convergente ou divergente:
sumn=1^infty n^nn!

Passo 1

Temos a série sumn=1^inftyn^nn!. O conteúdo é teste de convergência de séries pelo teste da razão e precisaremos calcular o quociente entre termos consecutivos.

Passo 2

Definimos an = n^nn! e montamos o quociente an+1an.

Passo 3

Calculamos o quociente:
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1){n+1}}{(n+1)!}}{\frac{nn}{n!}} = \frac{(n+1){n+1}}{(n+1),nn} = \Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{n}
$$

Passo 4

Avaliamos o limite quando ntoinfty:
$$\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{n} = e
$$

Passo 5

Como o limite do quociente é e>1, pelo teste da razão a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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