Sejam p e q números reais com p. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
(a) (p, q)

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar uma série de potências que só converge quando p < x < q. O conteúdo envolvido aqui é o critério de convergência de uma série de potências, que em geral depende de um raio de convergência R e de um centro c.

Passo 2

Sabemos que uma série de potências centrada em c da forma
sumn=0^infty an,(x - c)^n
converge para todos os x tais que |x - c| < R, onde
R = limntoinfty l|anan+1r|
(no caso simples de razão constante, fica ainda mais óbvio).

Passo 3

Para que o intervalo de convergência seja exatamente (p,q), precisamos escolher o centro e o raio assim:
  • Centro: c = p+q2
  • Raio: R = q-p2
    Com isso, a condição |x - c| < R vira exatamente
l|x - tfracp+q2r| < tfracq-p2
que se rearranja para p < x < q.

Passo 4

Basta agora usar a série geométrica padrão, que é uma série de potências com an = 1/R^n. Escrevemos
sumn=0^infty l(x - cRr)^n = sumn=0^infty l(x - p+q2q-p2r)^n
Essa série converge precisamente quando |(x-c)/R|<1, ou seja, p.

Resposta

A série de potências
sumn=0^infty gl(x - p+q2q-p2gr)^n
possui intervalo de convergência (p,q).

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