Sejam e números reais com . Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
(a)
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar uma série de potências que só converge quando . O conteúdo envolvido aqui é o critério de convergência de uma série de potências, que em geral depende de um raio de convergência e de um centro .
Passo 2
Sabemos que uma série de potências centrada em da forma
converge para todos os tais que , onde
(no caso simples de razão constante, fica ainda mais óbvio).
Passo 3
Para que o intervalo de convergência seja exatamente (p,q), precisamos escolher o centro e o raio assim:
Centro: c = p+q2
Raio: R = q-p2
Com isso, a condição |x - c| < R vira exatamente
l|x - tfracp+q2r| < tfracq-p2
que se rearranja para p < x < q.
Passo 4
Basta agora usar a série geométrica padrão, que é uma série de potências com an = 1/R^n. Escrevemos