Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Temos a série alternante
. O conteúdo envolve o critério de Leibniz para séries alternantes e teste de convergência absoluta (séries p). Vamos precisar verificar: (i)
, (ii)
, (iii)
decrescente, (iv) analisar
para ver convergência absoluta.
Passo 2
Calcular o limite de
. Observe que para grandes
domina
no denominador:
Logo,
Passo 3
Mostrar que
é decrescente. Considere a função
em
. Derivando:
Passo 4
Pelo critério de Leibniz, como
,
decrescente e
, a série alternante
converge.
Passo 5
Para verificar a convergência absoluta, considere
Passo 6
Concluímos que a série é convergente pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente.