Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4

Passo 1

Temos a série alternante sumn=1^infty(-1)^n+1dfracn^2n^3+4. O conteúdo envolve o critério de Leibniz para séries alternantes e teste de convergência absoluta (séries p). Vamos precisar verificar: (i) an=dfracn^2n^3+4>0, (ii) limntoinftyan=0, (iii) (an) decrescente, (iv) analisar sum|an| para ver convergência absoluta.

Passo 2

Calcular o limite de an. Observe que para grandes n domina n^3 no denominador:
limntoinfty n^2n^3+4 = limntoinfty 1n+4/n^2 = 0
Logo, limntoinftyan=0.

Passo 3

Mostrar que (an) é decrescente. Considere a função f(x)=x^2/(x^3+4) em [1,infty). Derivando:
f'(x)=2x(x^3+4)-x^2(3x^2)(x^3+4)^2 = 2x^4+8x-3x^4(x^3+4)^2 = -x^4-8x(x^3+4)^2Para x>=1 temos x^4-8x=x(x^3-8)>=0, então f'(x)<=0. Assim an+1=f(n+1)<= f(n)=an, ou seja, (an) é decrescente.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz, como an>0, (an) decrescente e anto0, a série alternante sum(-1)^n+1an converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, considere
sumn=1^infty |(-1)^n+1an| = sumn=1^infty n^2n^3+4Observe que
limntoinfty n^2n^3+41/n = limntoinfty n^3n^3+4 = 1,logo n^2/(n^3+4)sim1/n e como sum1/n diverge, a série sum n^2/(n^3+4) também diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Passo 6

Concluímos que a série é convergente pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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