Aplicando o Método da Variação dos Parâmetros e Método dos coeficiente a determinar resolva a equação
y^(i v)-2 y^prime prime prime+5 y^prime prime-8 y^prime+4 y=x^2 e^x

Passo 1

Resumo da questão: precisamos resolver a EDO linear de 4ª ordem com coeficientes constantes
y^(iv) - 2y^primeprimeprime + 5y^primeprime - 8y^prime + 4y = x^2 e^x
Aplicamos a teoria de EDs lineares, obtendo a solução geral como soma da solução complementar yc e de uma particular yp.

Passo 2

Solução complementar: escrevemos a equação característica
r^4 - 2r^3 + 5r^2 - 8r + 4 = 0
Testando r=1 vemos que é raiz dupla e o quociente reduz-se a
r^2 + 4 = 0,
cuja solução é r = pm 2i. Portanto
yc = (C1 + C2 x)e^x + C3cos 2x + C4sin 2x

Passo 3

Particular por coeficientes a determinar: como o termo forçante é x^2e^x e r=1 é raiz dupla (multiplicidade 2), assumimos
yp = e^xQ(x),
com
Q(x) = a4x^4 + a3x^3 + a2x^2 + a1x + a0,
um polinômio de grau 4 para acomodar o fator extra x^2.

Passo 4

Para evitar derivar quatro vezes, usamos o operador diferencial L(D) = D^4 - 2D^3 + 5D^2 - 8D + 4 e a propriedade de deslocamento
L(D)[e^xQ] = e^xL(D+1)[Q]
Calculamos
$$L(D+1) = ((D+1)-1)2((D+1)2 + 4) = D2(D2 + 2D + 5).
L(D+1) = ((D+1)-1)^2((D+1)^2 + 4) = D^2(D^2 + 2D + 5) çãD2(D2 + 2D + 5)[Q(x)] = x^2.
$$

Passo 5

Chamando
R1 = (D^2 + 2D + 5)[Q], R2 = D^2[R1],
e impondo R2 = x^2, ao expandir em potências de x obtemos
R2 = 12b4x^2 + 6b3x + 2b2 = x^2,
onde
b4 = 5a4, b3 = 8a4 + 5a3, b2 = 12a4 + 6a3 + 5a2
Igualando coeficientes: 12b4 = 1, 6b3 = 0, 2b2 = 0, resultando em
a4 = tfrac160, a3 = -tfrac275, a2 = -tfrac1125,
escolhendo a1 = a0 = 0 para eliminar componentes da homogênea.

Passo 6

Logo a solução particular é
yp = e^xl(tfracx^460 - tfrac2x^375 - tfracx^2125r),
e a solução geral da EDO é
$$y = (C_1 + C_2 x)e^x + C_3\cos 2x + C_4\sin 2x + ex\Bigl(\tfrac{x4}{60} - \tfrac{2x^3}{75} - \tfrac{x^2}{125}\Bigr).
$$

Resposta

y = (C1 + C2 x)e^x + C3cos 2x + C4sin 2x + e^xl(tfracx^460 - tfrac2x^375 - tfracx^2125r)

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