Aplicando o Método da Variação dos Parâmetros e Método dos coeficiente a determinar resolva a equação
Passo 1
Resumo da questão: precisamos resolver a EDO linear de 4ª ordem com coeficientes constantes
Aplicamos a teoria de EDs lineares, obtendo a solução geral como soma da solução complementar
e de uma particular
.
Passo 2
Solução complementar: escrevemos a equação característica
Testando
cuja solução é
. Portanto
Passo 3
Particular por coeficientes a determinar: como o termo forçante é
e
é raiz dupla (multiplicidade 2), assumimos
com
um polinômio de grau 4 para acomodar o fator extra
.
Passo 4
Para evitar derivar quatro vezes, usamos o operador diferencial
e a propriedade de deslocamento
Calculamos
$$L(D+1) = ((D+1)-1)2((D+1)2 + 4) = D2(D2 + 2D + 5).
$$
Passo 5
Chamando
e impondo
onde
Igualando coeficientes:
escolhendo
para eliminar componentes da homogênea.
Passo 6
Logo a solução particular é
e a solução geral da EDO é
$$y = (C_1 + C_2 x)e^x + C_3\cos 2x + C_4\sin 2x + ex\Bigl(\tfrac{x4}{60} - \tfrac{2x^3}{75} - \tfrac{x^2}{125}\Bigr).
$$