Expresse o número como razão de inteiros, por meio da convergência de una série geométrica.
0,929292…

Passo 1

A questão pede expressar o número 0,929292… como razão de inteiros usando a convergência de uma série geométrica. O conteúdo aqui é séries geométricas infinitas e vamos precisar usar a fórmula da soma para |r|<1.

Passo 2

Perceba que 0,929292… pode ser decomposto em parcelas: 0,92 + 0,0092 + 0,000092 + … . Podemos escrever isso como uma série geométrica infinita cujo primeiro termo é a = 0,92 e razão r = 0,01. Assim, o número vale:
S = a + a r + a r^2 + cdots = sumk=0^infty a,r^k

Passo 3

Como |r|=0,01<1, a série converge e sua soma é dada por
S = a1 - r Substituindo a = 0,92 e r = 0,01, obtemos
S = 0,921 - 0,01 = 0,920,99

Passo 4

Para escrever como razão de inteiros, note que 0,92 = tfrac92100 e 0,99 = tfrac99100. Logo,
0,920,99 = tfrac92100tfrac99100 = 9299 Como 92 e 99 são coprimos, essa é a forma irredutível.

Resposta

tfrac9299

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