A base de um aquário com volume 1 m^3 é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a 3 vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.

Passo 1

O problema pede as dimensões (comprimento x largura x altura) de um aquário retangular de volume 1,m^3 cuja base é de ardósia (custo unitário 3 vezes o do vidro) e as laterais de vidro, de modo a minimizar o custo total.

Passo 2

Definimos as variáveis: comprimento x, largura y e altura h. O volume impõe a restrição x y h = 1,m^3.

Passo 3

Agora montamos a função custo. Custo da base (ardósia) é 3 vezes o custo do vidro por área, logo: Cbase = 3, (x y) Custo das quatro laterais (vidro) tem área total 2h(x+y), logo: Clados = 1 cdot 2h(x+y) Assim: C(x,y,h) = 3xy + 2h(x+y)

Passo 4

Eliminamos h usando a restrição h = 1xy. Substituindo em C obtemos: C(x,y) = 3xy + 2x+yxy

Passo 5

Para minimizar, derivamos em relação a x e y e igualamos a zero. Pela simetria do problema, concluímos que no ótimo x = y. Substituindo y=x em C e derivando em função de x chega-se a: 3x - 2x^2 = 0 Longrightarrow x^3 = 23

Passo 6

Então a base é quadrada com lado x = y = l(tfrac23r)^1/3,m, e a altura é h = 1x^2 = l(tfrac32r)^2/3,m

Resposta

Base quadrada de lado x=y=(2/3)^1/3,m e altura h=(3/2)^2/3,m.

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