A base de um aquário com volume
é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a 3 vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.
Passo 1
O problema pede as dimensões (comprimento x largura x altura) de um aquário retangular de volume
cuja base é de ardósia (custo unitário 3 vezes o do vidro) e as laterais de vidro, de modo a minimizar o custo total.
Passo 2
Definimos as variáveis: comprimento
, largura
e altura
. O volume impõe a restrição
.
Passo 3
Agora montamos a função custo. Custo da base (ardósia) é 3 vezes o custo do vidro por área, logo:
Custo das quatro laterais (vidro) tem área total
, logo:
Assim:
Passo 4
Eliminamos
usando a restrição
. Substituindo em
obtemos:
Passo 5
Para minimizar, derivamos em relação a
e
e igualamos a zero. Pela simetria do problema, concluímos que no ótimo
. Substituindo
em
e derivando em função de
chega-se a:
Passo 6
Então a base é quadrada com lado
e a altura é
Resposta
Base quadrada de lado
e altura
.