Determine se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo envolve testes de convergência para séries numéricas, em especial o teste de comparação de limites e o conceito de p-séries.
Passo 2
Identificação do comportamento assintótico: definimos
. Para entender se a série converge, observamos o comportamento de
quando
. Como o grau do numerador é 1 e o do denominador é 2, intuitivamente
é da ordem de
, ou seja, parecido com a p-série de termo geral
.
Passo 3
Apresentação da p-série de referência: lembramos que a p-série
converge somente se
e diverge se
. No nosso caso, ao comparar com
, temos uma p-série com
, que diverge.
Passo 4
Aplicação do teste de comparação de limites: comparamos
e
. Calculamos o limite
Como o limite
é um número finito e não nulo, pelo teste de comparação de limites a série
tem o mesmo comportamento de
. Como
é divergente, concluímos que a série dada também diverge.
Resposta
A série diverge.