Determine se a série é convergente ou divergente:
sumn=1^infty n+1n^2+5 n+2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos determinar se a série sumn=1^infty n+1n^2+5n+2 converge ou diverge. O conteúdo envolve testes de convergência para séries numéricas, em especial o teste de comparação de limites e o conceito de p-séries.

Passo 2

Identificação do comportamento assintótico: definimos an = n+1n^2+5n+2. Para entender se a série converge, observamos o comportamento de an quando ntoinfty. Como o grau do numerador é 1 e o do denominador é 2, intuitivamente an é da ordem de 1/n, ou seja, parecido com a p-série de termo geral 1/n.

Passo 3

Apresentação da p-série de referência: lembramos que a p-série sum 1/n^p converge somente se p>1 e diverge se p<=1. No nosso caso, ao comparar com bn=1/n, temos uma p-série com p=1, que diverge.

Passo 4

Aplicação do teste de comparação de limites: comparamos an e bn=1/n. Calculamos o limite
L = limntoinfty anbn = limntoinfty (n+1)/(n^2+5n+2)1/n = limntoinfty n(n+1)n^2+5n+2 = 1
Como o limite L é um número finito e não nulo, pelo teste de comparação de limites a série sum an tem o mesmo comportamento de sum bn. Como sum bn=sum 1/n é divergente, concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados