Verifique se a série converge ou diverge. Para a série convergente ache a sua soma.
sumn=1^infty(4(4 n-3)(4 n+1)+23^n+1)

Passo 1

A gente tem a série sumn=1^inftyl(4(4n-3)(4n+1) + 23^n+1r). O objetivo é verificar convergência e, se ela convergir, achar o valor da soma. Para isso, vamos usar decomposição em frações parciais, telescoping e soma de série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor 4(4n-3)(4n+1) em frações mais fáceis. Procuramos A e B tais que
4(4n-3)(4n+1) = A4n-3 + B4n+1
Multiplicando ambos os lados por (4n-3)(4n+1), vem
4 = A(4n+1) + B(4n-3)
Comparando coeficientes, achamos
A + B = 0, A -3B = 4 implies A = 1, ; B = -1
Logo
4(4n-3)(4n+1) = 14n-3 - 14n+1

Passo 3

Agora somamos de n=1 até N essa parte telescópica:
sumn=1^N l(14n-3 - 14n+1r) = l(1 - tfrac15r) + l(tfrac15 - tfrac19r) + cdots + l(tfrac14N-3 - tfrac14N+1r)
Quase tudo cancela par a par, sobrando
S1,N = 1 - 14N+1

Passo 4

Em seguida, olhamos a soma da parte geométrica
sumn=1^N 23^n+1 = 2sumn=1^N 13^n+1
Isso é uma série geométrica de razão r=tfrac13 e primeiro termo 1/3^2=1/9. A soma dos N primeiros termos é
sumn=1^N 13^n+1 = 1/9l(1 - (1/3)^Nr)1 - 1/3 = 16l(1 - tfrac13^Nr)
Multiplicando por 2,
S2,N = 13l(1 - tfrac13^Nr) = 13 - 13^N+1

Passo 5

Agora somamos as duas partes para obter a soma parcial:
SN = S1,N + S2,N = l(1 - 14N+1r) + l(13 - 13^N+1r) = 43 - 14N+1 - 13^N+1
Quando N to infty, os termos 1/(4N+1) e 1/3^N+1 vão a zero. Portanto a série converge e sua soma é

Passo 6

Resposta

sumn=1^inftyl(4(4n-3)(4n+1) + 23^n+1r) = 43

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