Verifique se a série converge ou diverge. Para a série convergente ache a sua soma.
Passo 1
A gente tem a série
. O objetivo é verificar convergência e, se ela convergir, achar o valor da soma. Para isso, vamos usar decomposição em frações parciais, telescoping e soma de série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em frações mais fáceis. Procuramos
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, vem
Comparando coeficientes, achamos
Logo
Passo 3
Agora somamos de
até
essa parte telescópica:
Quase tudo cancela par a par, sobrando
Passo 4
Em seguida, olhamos a soma da parte geométrica
Isso é uma série geométrica de razão
e primeiro termo
. A soma dos
primeiros termos é
Multiplicando por 2,
Passo 5
Agora somamos as duas partes para obter a soma parcial:
Quando
, os termos
e
vão a zero. Portanto a série converge e sua soma é