Verifique se a série converge ou diverge. Para a série convergente ache a sua soma.
sumn=1^infty pi^n3^n+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty pi^n3^n+1. O conteúdo aqui é séries infinitas, em particular séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência para séries geométricas e o teste do termo geral.

Passo 2

Primeiro, observe que podemos fatorar 1/3 fora da soma e escrever a série como múltiplo de uma série geométrica:
sumn=1^infty pi^n3^n+1 = 13 sumn=1^infty l(pi3r)^n
Dessa forma, identificamos uma série geométrica com razão r = pi3 e primeiro termo a = pi3^2 = pi9, mas que está multiplicada por 1/3.

Passo 3

O critério de convergência para séries geométricas diz que sum r^n converge se, e somente se, |r| < 1. Aqui temos
|r| = l|pi3r| = pi3 > 1
Como o valor absoluto da razão é maior que 1, o termo geral não tende a zero e a série diverge.

Resposta

A série diverge porque a razão pi/3 excede 1 e o termo geral não tende a zero.

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