Determine se a série é convergente ou divergente
sumn=1^infty raizn+41+n^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar a série sumn=1^infty raizn+41+n^3/2. O conteúdo aqui é séries numéricas de termos positivos e vamos usar o teste da comparação limite (ou pensar em p-séries) para decidir convergência ou divergência.

Passo 2

Primeiro, a gente observa o comportamento do termo geral para n grande. Dividindo numerador e denominador por n^3/2, temos:
raizn+41+n^3/2=n^-1+4,n^-3/2n^-3/2+1
Para ntoinfty, n^-3/2to0. Então o termo geral se comporta como
n^-1+4,n^-3/21+0=n^-1
Ou seja, an=raizn+41+n^3/2 é equivalente a bn=1n quando n fica grande.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da comparação limite:
L=limntoinftyanbn=limntoinfty(raizn+4)/(1+n^3/2)1/n=limntoinftyn^-1+4n^-3/2(1+n^-3/2),n^-1=1
Como L é um número finito e estritamente positivo, an e bn têm o mesmo comportamento de convergência. Mas sum 1/n é a série harmônica, que diverge (p-série com p=1). Logo, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados