Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. Justifique sua resposta.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a sua soma. Informação dada: os termos da série são
para
.
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): uma forma padrão de testar séries com termos do tipo
é o teste da integral (ou o teste da p-série). Vou usar o teste da integral porque é bem direto aqui. Antes, lembro o enunciado do teste da integral (de forma simples e intuitiva):
Se
é positiva, contínua e decrescente, e
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
for finita. A ideia é comparar as áreas dos retângulos de largura 1 e altura
com a área sob a curva
.
Passo 3
Verificar condições do teste da integral para
.
- Positividade: para
tem . - Continuidade:
é contínua em (potência de com expoente real). - Monotonicidade: calcular a derivada para checar que é decrescente:
Como
para
, segue
para
. Logo
é decrescente em
.
Portanto todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 4
Calcular a integral imprópria
.
Primeiro a primitiva:
Agora a integral imprópria:
Como
, a integral diverge para
.
Passo 5
Aplicando o teste da integral: como
, a série
também diverge.
Passo 6
Comentário adicional (intuição e alternativa): esta é uma p-série do tipo
com
. A regra conhecida é que a p-série converge se, e somente se,
. Como aqui
, a série diverge. Outra maneira de ver o comportamento dos somatórios é usar as desigualdades com integrais:
e como as integrais crescem como
, os somatórios também crescem sem limite (crescem aproximadamente como
), confirmando a divergência.
Passo 7
Resumo final e ânimo rápido: a série diverge porque os termos
tendem a zero muito devagar (a soma parcial cresce como
). Boa notícia: este tipo de teste é muito útil em prova — reconhecer uma p-série e lembrar a condição
salva tempo.
Resposta
A série diverge.