Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. Justifique sua resposta.
(e) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a sua soma. Informação dada: os termos da série são a_k=\dfrac{1}{\sqrt{k}} para k=1,2,\dots.

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): uma forma padrão de testar séries com termos do tipo k^{-p} é o teste da integral (ou o teste da p-série). Vou usar o teste da integral porque é bem direto aqui. Antes, lembro o enunciado do teste da integral (de forma simples e intuitiva):
Se f:(1,\infty)\to\mathbb{R} é positiva, contínua e decrescente, e a_k=f(k), então a série \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx for finita. A ideia é comparar as áreas dos retângulos de largura 1 e altura f(k) com a área sob a curva y=f(x).

Passo 3

Verificar condições do teste da integral para f(x)=x^{-1/2}.
  • Positividade: para x\ge1 tem f(x)=x^{-1/2}>0.
  • Continuidade: f é contínua em [1,\infty) (potência de x com expoente real).
  • Monotonicidade: calcular a derivada para checar que é decrescente:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/2}\bigr)=-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}.
Como x^{-3/2}>0 para x>0, segue f'(x)<0 para x\ge1. Logo f é decrescente em [1,\infty).
Portanto todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 4

Calcular a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx.
Primeiro a primitiva:
\int x^{-1/2}\,dx=2x^{1/2}+C.
Agora a integral imprópria:
\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t} x^{-1/2}\,dx =\lim_{t\to\infty}\bigl[2x^{1/2}\bigr]_{1}^{t} =\lim_{t\to\infty} \bigl(2\sqrt{t}-2\bigr).
Como \lim_{t\to\infty}2\sqrt{t}=\infty, a integral diverge para +\infty.

Passo 5

Aplicando o teste da integral: como \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx=+\infty, a série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}} também diverge.

Passo 6

Comentário adicional (intuição e alternativa): esta é uma p-série do tipo \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{p}} com p=\tfrac{1}{2}. A regra conhecida é que a p-série converge se, e somente se, p>1. Como aqui p=\tfrac{1}{2}\le1, a série diverge. Outra maneira de ver o comportamento dos somatórios é usar as desigualdades com integrais:
\int_{1}^{n+1} x^{-1/2}\,dx \le \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \le \frac{1}{\sqrt{1}}+\int_{1}^{n} x^{-1/2}\,dx,
e como as integrais crescem como 2\sqrt{n}, os somatórios também crescem sem limite (crescem aproximadamente como 2\sqrt{n}), confirmando a divergência.

Passo 7

Resumo final e ânimo rápido: a série diverge porque os termos 1/\sqrt{k} tendem a zero muito devagar (a soma parcial cresce como O(\sqrt{n})). Boa notícia: este tipo de teste é muito útil em prova — reconhecer uma p-série e lembrar a condição p>1 salva tempo.

Resposta

A série diverge.

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