Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 cdot 2^nn!

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^+infty(-1)^n+12^nn!
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos primeiro analisar a série de termos positivos associada:
sumn=1^+infty2^nn!

Passo 2

Defina bn = 2^nn!. Aplicamos o teste da razão a sum bn. Calculamos
bn+1bn = 2^n+1(n+1)!2^nn! = 2n+1
Como
limntoinfty2n+1 = 0 < 1,
o teste da razão nos garante que sumn=1^+inftybn converge.

Passo 3

Note que
sumn=1^+inftygl|(-1)^n+12^nn!gr| = sumn=1^+infty2^nn!,
que já mostramos convergir. Logo a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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