Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Conteúdo envolvido: testes de convergência absoluta (comparação ou frações parciais) e, por fim, conclusão sobre convergência da série original.
Passo 2
Vamos examinar a convergência absoluta, isto é, a série
Para isso, fazemos frações parciais:
1n(n+2) =An+Bn+2
Multiplicando por n(n+2) obtemos
1=A(n+2)+Bn =(A+B)n+2A
Igualando coeficientes, A+B=0 e 2A=1, então A=tfrac12 e B=-tfrac12. Portanto
1n(n+2) =12l(1n-1n+2r)
Passo 3
Agora somamos os N primeiros termos:
SN=sumn=1^N1n(n+2) =12sumn=1^Nl(1n-1n+2r)
Esse somatório telescopa:
SN=12l((1+tfrac12)-l(tfrac1N+1+tfrac1N+2r)r)
Ao fazer Ntoinfty, os termos 1/(N+1) e 1/(N+2) tendem a zero, de modo que
limNtoinftySN =12l(1+tfrac12r) =34<infty
Logo sum 1/[n(n+2)] converge.
Passo 4
Como sumn=1^infty|an|=sum 1/[n(n+2)] converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência, portanto não há apenas convergência condicional nem divergência.
Resposta
A série sumn=1^infty(-1)^n+11n(n+2) é absolutamente convergente.