Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 1n(n+2)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty(-1)^n+11n(n+2)
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Conteúdo envolvido: testes de convergência absoluta (comparação ou frações parciais) e, por fim, conclusão sobre convergência da série original.

Passo 2

Vamos examinar a convergência absoluta, isto é, a série
sumn=1^inftygl|(-1)^n+1n(n+2)gr| =sumn=1^infty1n(n+2)
Para isso, fazemos frações parciais:
1n(n+2) =An+Bn+2
Multiplicando por n(n+2) obtemos
1=A(n+2)+Bn =(A+B)n+2A
Igualando coeficientes, A+B=0 e 2A=1, então A=tfrac12 e B=-tfrac12. Portanto
1n(n+2) =12l(1n-1n+2r)

Passo 3

Agora somamos os N primeiros termos:
SN=sumn=1^N1n(n+2) =12sumn=1^Nl(1n-1n+2r)
Esse somatório telescopa:
SN=12l((1+tfrac12)-l(tfrac1N+1+tfrac1N+2r)r)
Ao fazer Ntoinfty, os termos 1/(N+1) e 1/(N+2) tendem a zero, de modo que
limNtoinftySN =12l(1+tfrac12r) =34<infty
Logo sum 1/[n(n+2)] converge.

Passo 4

Como sumn=1^infty|an|=sum 1/[n(n+2)] converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência, portanto não há apenas convergência condicional nem divergência.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+11n(n+2) é absolutamente convergente.

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