Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta. \sum_{n=1}^{+\infty} n\left(\frac{2}{3}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{2}{3}\right)^{n}
e pede para decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e provar a resposta. Informações relevantes extraídas do enunciado:
O termo geral da série é a_n = n\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}.
Cada termo é positivo para todo n (ou seja, a_n>0 para todo n).
Precisa-se de uma justificativa rigorosa da convergência (ou divergência), e da classificação entre absoluta/condicional.
Passo 2
Escolha do método. Como os termos são positivos e envolvem uma potência \left(\tfrac{2}{3}\right)^{n} multiplicada por n, dois métodos simples e eficazes são:
o teste da razão (ratio test), que é direto para fatores exponenciais; e
reconhecer a série como uma série de potências cujo somatório pode ser obtido a partir da série geométrica diferenciada.
Vou aplicar primeiro o teste da razão porque é o mais básico e rápido para mostrar convergência absoluta. Depois mostro, como bônus, a soma exata da série usando a série geométrica diferenciada (isso não é necessário para responder a classificação, mas ajuda a entender melhor a série).
Passo 3
Enunciado do teste da razão (forma usada aqui). Para uma série \sum a_n com a_n\neq0 eventualmente, define-se
Como \dfrac{2}{3}<1, pelo teste da razão a série \sum a_n converge absolutamente.
Passo 4
Interpretação do resultado e conclusão sobre a classificação. “Converge absolutamente” significa que a série das magnitudes \sum |a_n| converge. Aqui os a_n já são positivos, então |a_n|=a_n; portanto convergência absoluta implica convergência própria da série original. Como mostramos \lim |a_{n+1}/a_n|=\tfrac{2}{3}<1, concluímos que a série é absolutamente convergente. Em particular, não é apenas condicionalmente convergente; é fortemente convergente (absoluta).
Passo 5
(Apresentação extra — soma exata da série, para reforçar entendimento.) Há uma fórmula fechada conhecida: para |r|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Diferenciando termo a termo em relação a r (válido para |r|<1) obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por r segue
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
No nosso caso r=\tfrac{2}{3} (que satisfaz |r|<1), então