Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}^{+\infty} n\left(\frac{2}{3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{2}{3}\right)^{n}
e pede para decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e provar a resposta. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral da série é a_n = n\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}.
  • Cada termo é positivo para todo n (ou seja, a_n>0 para todo n).
  • Precisa-se de uma justificativa rigorosa da convergência (ou divergência), e da classificação entre absoluta/condicional.

Passo 2

Escolha do método. Como os termos são positivos e envolvem uma potência \left(\tfrac{2}{3}\right)^{n} multiplicada por n, dois métodos simples e eficazes são:
  • o teste da razão (ratio test), que é direto para fatores exponenciais; e
  • reconhecer a série como uma série de potências cujo somatório pode ser obtido a partir da série geométrica diferenciada.
Vou aplicar primeiro o teste da razão porque é o mais básico e rápido para mostrar convergência absoluta. Depois mostro, como bônus, a soma exata da série usando a série geométrica diferenciada (isso não é necessário para responder a classificação, mas ajuda a entender melhor a série).

Passo 3

Enunciado do teste da razão (forma usada aqui). Para uma série \sum a_n com a_n\neq0 eventualmente, define-se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Se L<1 então a série \sum a_n converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
Aplicando ao nosso a_n = n\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{n\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{2}{3} = \left(1+\frac{1}{n}\right)\frac{2}{3}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\frac{2}{3} = 1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.
Como \dfrac{2}{3}<1, pelo teste da razão a série \sum a_n converge absolutamente.

Passo 4

Interpretação do resultado e conclusão sobre a classificação. “Converge absolutamente” significa que a série das magnitudes \sum |a_n| converge. Aqui os a_n já são positivos, então |a_n|=a_n; portanto convergência absoluta implica convergência própria da série original. Como mostramos \lim |a_{n+1}/a_n|=\tfrac{2}{3}<1, concluímos que a série é absolutamente convergente. Em particular, não é apenas condicionalmente convergente; é fortemente convergente (absoluta).

Passo 5

(Apresentação extra — soma exata da série, para reforçar entendimento.) Há uma fórmula fechada conhecida: para |r|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Diferenciando termo a termo em relação a r (válido para |r|<1) obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por r segue
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
No nosso caso r=\tfrac{2}{3} (que satisfaz |r|<1), então
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{2}{3}\right)^{n} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\left(1-\tfrac{2}{3}\right)^{2}} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{9}} =\frac{2}{3}\cdot 9=6.
Assim além de ser absolutamente convergente, a série converge para 6.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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