Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a série
O que é pedido: classificar a série entre absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e provar a resposta.
Informações úteis que extraí do enunciado:
- O termo geral da série é
. - A série de valores absolutos é
. - Lembrete rápido (fatos que vou usar mais adiante):
- Teste do termo geral (teste da divergência): se
então a série diverge. - Teste da raiz: para uma série com termos
, se e , então diverge; se então converge absolutamente.
- Teste do termo geral (teste da divergência): se
Passo 2
Vou verificar o comportamento do termo geral
quando
. Para isso é conveniente estudar o módulo do termo:
Mostro que
quando
. Uma forma clara é usar o logaritmo natural: considere
Aqui
cresce linearmente com
, enquanto
cresce muito mais devagar (cresce apenas como
). Portanto
o que implica, ao exponenciar, que
Passo 3
Como
, em particular
não tende a zero; de fato
não existe (os sinais oscilam por causa de
e a magnitude explode). Pelo teste do termo geral: se o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir. Conclusão:
Passo 4
Para completar a análise, mostro também que a série de valores absolutos diverge (portanto a série não é absolutamente convergente). Considere a série
. Aplicando o teste da raiz:
Como
, segue que
Como
, o teste da raiz garante que
diverge. Logo a série não é absolutamente convergente.
Passo 5
Resumo lógico da classificação:
- A série não converge (pois o termo geral não tende a zero).
- A série também não converge absolutamente (a série das absolutas diverge).
- Portanto não há convergência condicional: não é condicionalmente convergente porque nem mesmo converge.
Resposta
Divergente (não é absolutamente nem condicionalmente convergente)