Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n}}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{2^{n}}{n^{3}}.
O que é pedido: classificar a série entre absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e provar a resposta.
Informações úteis que extraí do enunciado:
  • O termo geral da série é a_n = (-1)^{n}\dfrac{2^{n}}{n^{3}}.
  • A série de valores absolutos é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n^{3}}.
  • Lembrete rápido (fatos que vou usar mais adiante):
    • Teste do termo geral (teste da divergência): se \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 então a série \sum a_n diverge.
    • Teste da raiz: para uma série com termos b_n\ge0, se \displaystyle L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n} e L>1, então \sum b_n diverge; se L<1 então converge absolutamente.

Passo 2

Vou verificar o comportamento do termo geral a_n quando n\to\infty. Para isso é conveniente estudar o módulo do termo:
\left|a_n\right|=\frac{2^{n}}{n^{3}}.
Mostro que \displaystyle\frac{2^{n}}{n^{3}}\to+\infty quando n\to\infty. Uma forma clara é usar o logaritmo natural: considere
\ln\!\left(\frac{2^{n}}{n^{3}}\right)=n\ln 2 - 3\ln n.
Aqui n\ln 2 cresce linearmente com n, enquanto 3\ln n cresce muito mais devagar (cresce apenas como \ln n). Portanto
\lim_{n\to\infty}\bigl(n\ln 2 - 3\ln n\bigr)=+\infty,
o que implica, ao exponenciar, que
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n^{3}}=+\infty.

Passo 3

Como \left|a_n\right|=\dfrac{2^{n}}{n^{3}}\to+\infty, em particular a_n não tende a zero; de fato \lim_{n\to\infty} a_n não existe (os sinais oscilam por causa de (-1)^n e a magnitude explode). Pelo teste do termo geral: se o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir. Conclusão:
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{2^{n}}{n^{3}}\quad\text{diverge}.

Passo 4

Para completar a análise, mostro também que a série de valores absolutos diverge (portanto a série não é absolutamente convergente). Considere a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n^{3}}. Aplicando o teste da raiz:
\sqrt[n]{\frac{2^{n}}{n^{3}}}=\frac{2}{n^{3/n}}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{3/n}=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{3\ln n}{n}}=e^{0}=1, segue que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2^{n}}{n^{3}}}=2.
Como 2>1, o teste da raiz garante que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n^{3}} diverge. Logo a série não é absolutamente convergente.

Passo 5

Resumo lógico da classificação:
  • A série não converge (pois o termo geral não tende a zero).
  • A série também não converge absolutamente (a série das absolutas diverge).
  • Portanto não há convergência condicional: não é condicionalmente convergente porque nem mesmo converge.

Resposta

Divergente (não é absolutamente nem condicionalmente convergente)

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