Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{2}}{n!}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{2}}{n!}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n^{2}}{n!}.
  • Os termos a_n são não-negativos (positivos para n\ge1).
  • A pergunta é apenas a classificação da convergência da série (e pede prova).

Passo 2

Vou lembrar, de forma didática, definições e um critério que vou usar.
  • A série \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge.
  • Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge, diz-se condicionalmente convergente.
  • Se \sum a_n diverge, diz-se simplesmente divergente.
Como aqui a_n\ge0 para todo n, temos |a_n|=a_n. Portanto, para séries de termos não-negativos, “converge” e “converge absolutamente” são equivalentes: mostrar que \sum a_n converge já mostra convergência absoluta.
Vou usar o Teste da Razão (criterio de d’Alembert), que é muito útil quando aparecem fatoriais. Enunciado do teste:
  • Seja a_n\ge0. Se existir o limite L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},então
    • se L<1 a série \sum a_n converge,
    • se L>1 a série diverge,
    • se L=1 o teste é inconclusivo.
      Explicação curta do porquê: quando a_{n+1}/a_n tende a um número menor que 1, a cauda da série se comporta geometricamente com razão menor que 1, garantindo convergência.

Passo 3

Aplicar o Teste da Razão à nossa série. Tome a_n=\dfrac{n^2}{n!}. Calcule
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^2}{(n+1)!}}{\dfrac{n^2}{n!}} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^2}.
Agora simplifico (n+1)!=(n+1)n!, então
\frac{(n+1)^2}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)n!}\cdot\frac{n!}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)n^2} = \frac{n+1}{n^2}.
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\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{n^2}.

Passo 4

Calcule o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac{1}{n}}{n} = 0,
porque o numerador tende a 1 e o denominador tende a +\infty. Portanto o limite L=0.
Pelo Teste da Razão, como L=0<1, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2}{n!} converge. Como os termos são não-negativos, isso implica que a série é absolutamente convergente.

Passo 5

Para consolidar a intuição (e ensinar um pequeno truque que às vezes cai em prova), podemos calcular a soma exata da série. Escreva
n^2=n(n-1)+n,
portanto, para n\ge2,
\frac{n^2}{n!}=\frac{n(n-1)}{n!}+\frac{n}{n!} =\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}.
Separando o primeiro termo n=1 (que é \tfrac{1}{1!}=1) e somando a partir de n=2, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!} =1+\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}\right).
Mude índices: para o primeiro somatório deixe k=n-2 (vai de k=0 a \infty) e para o segundo deixe m=n-1 (vai de m=1 a \infty). Então
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-2)!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e, \qquad \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m!}=e-1.
Assim
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}=1+e+(e-1)=2e.
Isso confirma a convergência e dá a soma fechada da série.

Resposta

Absolutamente convergente.

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