Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral é
. - Os termos
são não-negativos (positivos para ). - A pergunta é apenas a classificação da convergência da série (e pede prova).
Passo 2
Vou lembrar, de forma didática, definições e um critério que vou usar.
- A série
é absolutamente convergente se converge. - Se
converge mas diverge, diz-se condicionalmente convergente. - Se
diverge, diz-se simplesmente divergente.
Como aqui
para todo
, temos
. Portanto, para séries de termos não-negativos, “converge” e “converge absolutamente” são equivalentes: mostrar que
converge já mostra convergência absoluta.
Vou usar o Teste da Razão (criterio de d’Alembert), que é muito útil quando aparecem fatoriais. Enunciado do teste:
- Seja
. Se existir o limite então - se
a série converge, - se
a série diverge, - se
o teste é inconclusivo.
Explicação curta do porquê: quandotende a um número menor que 1, a cauda da série se comporta geometricamente com razão menor que 1, garantindo convergência.
- se
Passo 3
Aplicar o Teste da Razão à nossa série. Tome
. Calcule
Agora simplifico
, então
Logo
Passo 4
Calcule o limite quando
:
porque o numerador tende a
e o denominador tende a
. Portanto o limite
.
Pelo Teste da Razão, como
, a série
converge. Como os termos são não-negativos, isso implica que a série é absolutamente convergente.
Passo 5
Para consolidar a intuição (e ensinar um pequeno truque que às vezes cai em prova), podemos calcular a soma exata da série. Escreva
portanto, para
,
Separando o primeiro termo
(que é
) e somando a partir de
, obtemos
Mude índices: para o primeiro somatório deixe
(vai de
a
) e para o segundo deixe
(vai de
a
). Então
Assim
Isso confirma a convergência e dá a soma fechada da série.
Resposta
Absolutamente convergente.