Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta. \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{2^{n}}{n!}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n}}{n!}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas:
O termo geral da série é (-1)^{n+1}\dfrac{2^{n}}{n!}.
A série é alternada por causa do fator (-1)^{n+1}.
Devemos provar a conclusão (mostrar os testes usados e justificar).
Passo 2
Vou lembrar os conceitos que vou usar (de forma clara e direta):
Série absolutamente convergente: a série \sum a_n é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge.
Série condicionalmente convergente: \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge.
Resultado útil: se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge (ou seja, absoluta implica convergência).
Para testar convergência de séries de termos positivos (como \sum|a_n|), um teste muito prático é o teste da razão (d’Alembert).
Explicando o teste da razão (bem mastigado):
Seja (b_n) uma sequência de termos positivos e considere \sum b_n.
Defina L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_{n+1}}{b_n}, quando esse limite existe.
Se L<1, então \sum b_n converge (razao geométrica pequena domina).
Se L>1, então \sum b_n diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Esse teste funciona porque, para n grande, b_{n+1}\approx L b_n e isso se comporta como uma série geométrica de razão L.
Passo 3
Aplicar o conceito de absoluta convergência: considerar a série dos valores absolutos
Aqui 0<1. Pelo teste da razão, a série \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2^{n}}{n!} converge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2^{n}}{n!} converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente. Pelo resultado geral, absoluta convergência implica convergência, então a série converge; não é uma convergência condicional (pois a série dos módulos já converge).
Observação adicional (útil para prova): tinha-se também a relação com a série exponencial conhecida,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{n!}=e^{2},
logo \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n!}=e^{2}-1, o que confirma a convergência dos módulos. Mas essa observação não era necessária para concluir a classificação.