Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n}}{n!}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O termo geral da série é (-1)^{n+1}\dfrac{2^{n}}{n!}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{n+1}.
  • Devemos provar a conclusão (mostrar os testes usados e justificar).

Passo 2

Vou lembrar os conceitos que vou usar (de forma clara e direta):
  • Série absolutamente convergente: a série \sum a_n é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge.
  • Série condicionalmente convergente: \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge.
  • Resultado útil: se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge (ou seja, absoluta implica convergência).
    Para testar convergência de séries de termos positivos (como \sum|a_n|), um teste muito prático é o teste da razão (d’Alembert).
Explicando o teste da razão (bem mastigado):
  • Seja (b_n) uma sequência de termos positivos e considere \sum b_n.
  • Defina L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_{n+1}}{b_n}, quando esse limite existe.
  • Se L<1, então \sum b_n converge (razao geométrica pequena domina).
  • Se L>1, então \sum b_n diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Esse teste funciona porque, para n grande, b_{n+1}\approx L b_n e isso se comporta como uma série geométrica de razão L.

Passo 3

Aplicar o conceito de absoluta convergência: considerar a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\;(-1)^{n+1}\frac{2^{n}}{n!}\;\right| = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{n}}{n!}.
Denoto b_n=\dfrac{2^{n}}{n!}, que são termos positivos. Vou aplicar o teste da razão a \sum b_n.

Passo 4

Calcular a razão entre termos consecutivos:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^{n}}{n!}} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^{n}} = \frac{2}{n+1}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0.
Aqui 0<1. Pelo teste da razão, a série \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2^{n}}{n!} converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2^{n}}{n!} converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente. Pelo resultado geral, absoluta convergência implica convergência, então a série converge; não é uma convergência condicional (pois a série dos módulos já converge).
Observação adicional (útil para prova): tinha-se também a relação com a série exponencial conhecida,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{n!}=e^{2},
logo \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n!}=e^{2}-1, o que confirma a convergência dos módulos. Mas essa observação não era necessária para concluir a classificação.

Resposta

Absolutamente convergente.

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