Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede que se determine se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral da série é
. - Cada
é positivo para todo (pois é cociente de quantidades positivas). - A questão exige prova da convergência (ou divergência) e classificação em absoluta/condicional.
Passo 2
Plano de ataque (explicado de forma simples e amigável): como os termos são positivos, a distinção entre convergência e convergência absoluta desaparece — se a série com termos
converge, ela converge absolutamente. Uma boa estratégia é comparar
com uma série geométrica simples, por exemplo com
, usando o teste da comparação por limite (limit comparison test). Vou justificar porque isso funciona e calcular o limite.
Breve lembrete do teste que vou usar (explicação didática):
- Se
e e existe o limite
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Isso é intuitivo: quando o quociente tende a um número positivo, é, para
grandes, equivalente a uma constante multiplicativa vezes
.
Isso é intuitivo: quando o quociente tende a um número positivo,
Passo 3
Defino
e
. Vou calcular o limite
Primeiro simplifico o quociente:
Então
Passo 4
Agora é preciso avaliar
. Vou usar um resultado clássico e mostrar por que é verdade (passo a passo):
- Sabe-se que
. Para justificar sem pular etapas, consideremos o logaritmo:
Coloque
. Quando
temos
. Então
Usamos o limite conhecido
(que pode ser obtido por expansão em série ou pela regra de l’Hospital). Portanto
o que implica
- Como
, tomando limite acima ao quadrado obtemos
Passo 5
Voltando ao limite do Passo 3, encontramos
Esse limite
é um número positivo finito. Pelo teste da comparação por limite (explicado no Passo 2), as séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 6
Agora analiso a série comparadora
. Essa é uma série geométrica com razão
. Como
, a série geométrica converge (a soma é
, mas o valor exato não é necessário aqui). Logo
converge.
Pelo resultado do Passo 5, como
converge e o limite do quociente é
, concluímos que
também converge.
Passo 7
Como todos os termos
são positivos, a série
coincide com a série de seus valores absolutos
. Portanto a convergência obtida é convergência absoluta. Em palavras mais amigas: não há alternância de sinal para causar uma “convergência condicional”; a série é diretamente convergente e, sendo de termos não negativos, é absolutamente convergente.
Resposta
A série é absolutamente convergente.