Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}}

Passo 1

O enunciado pede que se determine se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}}.
  • Cada a_n é positivo para todo n\ge1 (pois é cociente de quantidades positivas).
  • A questão exige prova da convergência (ou divergência) e classificação em absoluta/condicional.

Passo 2

Plano de ataque (explicado de forma simples e amigável): como os termos são positivos, a distinção entre convergência e convergência absoluta desaparece — se a série com termos a_n converge, ela converge absolutamente. Uma boa estratégia é comparar a_n com uma série geométrica simples, por exemplo com b_n=(1/e)^n, usando o teste da comparação por limite (limit comparison test). Vou justificar porque isso funciona e calcular o limite.
Breve lembrete do teste que vou usar (explicação didática):
  • Se a_n>0 e b_n>0 e existe o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
com 0<L<+\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Isso é intuitivo: quando o quociente tende a um número positivo, a_n é, para n grandes, equivalente a uma constante multiplicativa vezes b_n.

Passo 3

Defino a_n=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}} e b_n=\left(\dfrac{1}{e}\right)^{n}=e^{-n}. Vou calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}.
Primeiro simplifico o quociente:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}} \cdot e^{n} = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2 n}.
Então
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2 n}.

Passo 4

Agora é preciso avaliar \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2 n}. Vou usar um resultado clássico e mostrar por que é verdade (passo a passo):
  • Sabe-se que \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e. Para justificar sem pular etapas, consideremos o logaritmo:
\ln\!\left( \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} \right)= n\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right).
Coloque x=\dfrac{1}{n}. Quando n\to\infty temos x\to0^+. Então
n\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right) = \frac{\ln(1+x)}{x}.
Usamos o limite conhecido \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1 (que pode ser obtido por expansão em série ou pela regra de l’Hospital). Portanto
\lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1,
o que implica
\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e^{1}=e.
  • Como \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2n}=\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\right]^2, tomando limite acima ao quadrado obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2 n}=e^{2}.

Passo 5

Voltando ao limite do Passo 3, encontramos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=e^{2}.
Esse limite L=e^{2} é um número positivo finito. Pelo teste da comparação por limite (explicado no Passo 2), as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 6

Agora analiso a série comparadora \sum b_n=\sum e^{-n}. Essa é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{e}. Como 0<\dfrac{1}{e}<1, a série geométrica converge (a soma é \dfrac{1/e}{1-1/e}, mas o valor exato não é necessário aqui). Logo \sum b_n converge.
Pelo resultado do Passo 5, como \sum b_n converge e o limite do quociente é e^{2}\in(0,+\infty), concluímos que \sum a_n também converge.

Passo 7

Como todos os termos a_n são positivos, a série \sum a_n coincide com a série de seus valores absolutos \sum |a_n|. Portanto a convergência obtida é convergência absoluta. Em palavras mais amigas: não há alternância de sinal para causar uma “convergência condicional”; a série é diretamente convergente e, sendo de termos não negativos, é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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