Sabendo que sen
e
, calcule:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a informação e pede várias funções trigonométricas. Vou listar claramente o que temos e o que precisamos achar.
- Dado:
. - Restrição:
. - Pedidos:
(a)
(b)(ou )
(c)(ou )
(d)
(e)(ou )
Passo 2
Revisão da identidade fundamental e justificativa de sinal (aula rápida e prática).
- Identidade pitagórica: para qualquer ângulo
vale
Explicação:
significa
e
significa
. Essa relação vem do triângulo retângulo no círculo trigonométrico — é a relação entre catetos e hipotenusa normalizada.
- Como temos
conhecido, podemos usar essa identidade para achar em módulo:
- Sobre o sinal de
: o intervalo é o segundo quadrante (QII). No QII, o seno é positivo e o cosseno é negativo. Então, ao tirar raiz quadrada para achar , devemos escolher a raiz negativa.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
- Primeiro calcule
:
- Aplicando a identidade:
- Raiz quadrada (magnitude de
):
- Escolher o sinal pelo quadrante (QII):
é negativo. Portanto
Passo 4
Definição e cálculo de
(tangente). Aula rápida sobre a definição.
- Definição:
. Isso vem da razão entre cateto oposto e cateto adjacente num triângulo retângulo, ou da definição na circunferência trigonométrica. - Substituindo os valores:
- Observação: no QII a tangente é negativa, e isso aparece no resultado.
Passo 5
Definição e cálculo de
(cotangente). Explicação da relação com
.
- Definição:
. - Usando
e :
- Verificação rápida: é o recíproco de
, isto é e .
Passo 6
Definição e cálculo de
(secante). Explicação e cálculo direto.
- Definição:
. - Substituindo
:
Passo 7
Definição e cálculo de
(cossecante). Explicação e cálculo direto.
- Definição:
. - Substituindo
:
- Observação de sinal:
no QII, então .
Passo 8
Resumo rápido dos resultados e verificação de consistência (checar sinais e reciprocidades).
- Reciprocidades confirmadas:
-
deu . -
deu . -
e deram o mesmo .
-
- Sinais batem com o fato de que em QII:
, , .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)