Sabendo que sen x=4 / 5 e \pi / 2<x<\pi, calcule:
(a) \cos x
(b) \operatorname{tg} x
(c) \operatorname{cotg} x
(d) \operatorname{sec} x
(e) \operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado dá a informação e pede várias funções trigonométricas. Vou listar claramente o que temos e o que precisamos achar.
  • Dado: \sin x=\dfrac{4}{5}.
  • Restrição: \dfrac{\pi}{2}<x<\pi.
  • Pedidos:
    (a) \cos x
    (b) \tan x (ou \operatorname{tg}x)
    (c) \cot x (ou \operatorname{cotg}x)
    (d) \operatorname{sec} x
    (e) \csc x (ou \operatorname{cossec}x)

Passo 2

Revisão da identidade fundamental e justificativa de sinal (aula rápida e prática).
  • Identidade pitagórica: para qualquer ângulo x vale
\sin^2 x + \cos^2 x = 1.
Explicação: \sin^2 x significa (\sin x)^2 e \cos^2 x significa (\cos x)^2. Essa relação vem do triângulo retângulo no círculo trigonométrico — é a relação entre catetos e hipotenusa normalizada.
  • Como temos \sin x conhecido, podemos usar essa identidade para achar \cos x em módulo:
\cos^2 x = 1 - \sin^2 x.
  • Sobre o sinal de \cos x: o intervalo \dfrac{\pi}{2}<x<\pi é o segundo quadrante (QII). No QII, o seno é positivo e o cosseno é negativo. Então, ao tirar raiz quadrada para achar \cos x, devemos escolher a raiz negativa.

Passo 3

Calcular \cos x passo a passo.
  • Primeiro calcule \sin^2 x:
\sin^2 x = \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{25}.
  • Aplicando a identidade:
\cos^2 x = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{25}{25}-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}.
  • Raiz quadrada (magnitude de \cos x):
|\cos x| = \sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}.
  • Escolher o sinal pelo quadrante (QII): \cos x é negativo. Portanto
\cos x = -\dfrac{3}{5}.

Passo 4

Definição e cálculo de \tan x (tangente). Aula rápida sobre a definição.
  • Definição: \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Isso vem da razão entre cateto oposto e cateto adjacente num triângulo retângulo, ou da definição na circunferência trigonométrica.
  • Substituindo os valores:
\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\tfrac{4}{5}}{-\tfrac{3}{5}} = \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{5}{-3} = -\dfrac{4}{3}.
  • Observação: no QII a tangente é negativa, e isso aparece no resultado.

Passo 5

Definição e cálculo de \cot x (cotangente). Explicação da relação com \tan x.
  • Definição: \cot x = \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\cos x}{\sin x}.
  • Usando \cos x e \sin x:
\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{-\tfrac{3}{5}}{\tfrac{4}{5}} = -\dfrac{3}{4}.
  • Verificação rápida: é o recíproco de \tan x, isto é \cot x = -\dfrac{3}{4} e \tan x = -\dfrac{4}{3}.

Passo 6

Definição e cálculo de \operatorname{sec} x (secante). Explicação e cálculo direto.
  • Definição: \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}.
  • Substituindo \cos x = -\dfrac{3}{5}:
\operatorname{sec} x = \dfrac{1}{-\tfrac{3}{5}} = -\dfrac{5}{3}.

Passo 7

Definição e cálculo de \csc x (cossecante). Explicação e cálculo direto.
  • Definição: \csc x = \dfrac{1}{\sin x}.
  • Substituindo \sin x = \dfrac{4}{5}:
\csc x = \dfrac{1}{\tfrac{4}{5}} = \dfrac{5}{4}.
  • Observação de sinal: \sin x>0 no QII, então \csc x>0.

Passo 8

Resumo rápido dos resultados e verificação de consistência (checar sinais e reciprocidades).
  • Reciprocidades confirmadas:
    • \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x} deu -\dfrac{5}{3}.
    • \csc x = \dfrac{1}{\sin x} deu \dfrac{5}{4}.
    • \cot x = \dfrac{1}{\tan x} e \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} deram o mesmo -\dfrac{3}{4}.
  • Sinais batem com o fato de que em QII: \sin>0, \cos<0, \tan<0.

Resposta

(a) \cos x = -\dfrac{3}{5}
(b) \tan x = -\dfrac{4}{3}
(c) \cot x = -\dfrac{3}{4}
(d) \operatorname{sec} x = -\dfrac{5}{3}
(e) \csc x = \dfrac{5}{4}

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