Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(\ln n)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(\ln n)^{n}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas e observações imediatas:
  • Os termos são \displaystyle a_n=\frac{1}{(\ln n)^{n}} para n\ge 2.
  • Para n\ge 2 tem-se \ln n>0, portanto a_n>0 para todo n\ge2.
  • Como os termos são não negativos, “absoluta” ou “condicional” reduzem-se basicamente a verificar se a série converge (se converge, então é automaticamente absoluta, porque |a_n|=a_n).

Passo 2

Apresento uma ferramenta muito útil: o teste da raiz (Cauchy). Vou explicar direito para você poder usar na prova.
Teste da raiz (enunciado e ideia):
  • Seja (a_n)_{n\ge1} uma sequência de números reais não negativos e considere a série \sum a_n.
  • Defina L=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}. Então:
    • se L<1, a série \sum a_n converge;
    • se L>1, a série diverge;
    • se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Intenção prática: \sqrt[n]{a_n} mede uma “razão média” de decaimento; se ela fica abaixo de 1 no limite, a série decai (pelo menos) geometricamente e converge.
Explicando os símbolos:
  • \sqrt[n]{a_n} é a raiz n-ésima de a_n, que pode ser escrita também como a_n^{1/n}.
  • \limsup_{n\to\infty} é o limite superior; se o limite simples \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} existir, então esse valor é igual ao \limsup.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz à nossa série. Tomamos
a_n=\frac{1}{(\ln n)^{n}}.
Calcule a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n}=\left(\frac{1}{(\ln n)^{n}}\right)^{1/n}=\frac{1}{\ln n}.
Agora calcule o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n}=0,
porque \ln n\to+\infty quando n\to\infty, e o recíproco de um número que tende a infinito tende a zero. Logo o valor L do teste é L=0.

Passo 4

Interprete o resultado do teste da raiz: como L=0<1, pelo teste da raiz a série
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{(\ln n)^{n}}
converge. Como todos os termos são não negativos, a convergência obtida é também convergência absoluta (pois |a_n|=a_n).

Passo 5

Para fixar a intuição: a série converge muito rápido — mais rápido que uma série geométrica qualquer com razão fixa menor que 1. Uma comparação simples (opcional, mas útil na prova) confirma isso: existe N tal que para todo n\ge N tem-se \ln n\ge 2 (por exemplo, para n\ge 8 vale isso). Então para n\ge 8,
\frac{1}{(\ln n)^{n}}\le\frac{1}{2^{n}}.
Como \sum_{n=8}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} é uma série geométrica convergente, o traço da série original a partir de n=8 converge; somando um número finito de termos iniciais obtém-se a convergência da série inteira. Isso reforça a conclusão do teste da raiz.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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