Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas e observações imediatas:
- Os termos são
para . - Para
tem-se , portanto para todo . - Como os termos são não negativos, “absoluta” ou “condicional” reduzem-se basicamente a verificar se a série converge (se converge, então é automaticamente absoluta, porque
).
Passo 2
Apresento uma ferramenta muito útil: o teste da raiz (Cauchy). Vou explicar direito para você poder usar na prova.
Teste da raiz (enunciado e ideia):
- Seja
uma sequência de números reais não negativos e considere a série . - Defina
. Então: - se
, a série converge; - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo.
- se
- Intenção prática:
mede uma “razão média” de decaimento; se ela fica abaixo de no limite, a série decai (pelo menos) geometricamente e converge.
Explicando os símbolos:
-
é a raiz -ésima de , que pode ser escrita também como . -
é o limite superior; se o limite simples existir, então esse valor é igual ao .
Passo 3
Aplicando o teste da raiz à nossa série. Tomamos
Calcule a raiz
-ésima:
Agora calcule o limite quando
:
porque
quando
, e o recíproco de um número que tende a infinito tende a zero. Logo o valor
do teste é
.
Passo 4
Interprete o resultado do teste da raiz: como
, pelo teste da raiz a série
converge. Como todos os termos são não negativos, a convergência obtida é também convergência absoluta (pois
).
Passo 5
Para fixar a intuição: a série converge muito rápido — mais rápido que uma série geométrica qualquer com razão fixa menor que
. Uma comparação simples (opcional, mas útil na prova) confirma isso: existe
tal que para todo
tem-se
(por exemplo, para
vale isso). Então para
,
Como
é uma série geométrica convergente, o traço da série original a partir de
converge; somando um número finito de termos iniciais obtém-se a convergência da série inteira. Isso reforça a conclusão do teste da raiz.
Resposta
A série é absolutamente convergente.