Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta. \sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{\ln n}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{\ln n}
e pede para classificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes e fatos que vou usar (sem desenvolver ainda):
O termo geral da série é (-1)^{n+1}\dfrac{n}{\ln n}. A sua magnitude é \dfrac{n}{\ln n}.
Uma condição necessária para que uma série \sum a_n convirja é que o termo geral tenda a zero: \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Se esse limite não for 0, a série diverge.
Para verificar convergência absoluta, olhar para a série de termos positivos \sum |a_n|. Se \sum |a_n| diverge e a série original não converge, então não há convergência condicional; se \sum |a_n| converge, a série original é absolutamente convergente.
A resolução verdadeira começa no próximo passo.
Passo 2
Vou estudar o comportamento do termo em módulo
a_n := \frac{n}{\ln n}.
É suficiente verificar o limite de a_n quando n\to\infty. Para isso, considere a função contínua de variável real
f(x)=\frac{\ln x}{x},\qquad x>0.
Usando a regra de L’Hospital para \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} (forma \tfrac{\infty}{\infty}), derivando numerador e denominador obtemos
converja. Mas já vimos que o termo geral \dfrac{n}{\ln n} não tende a zero (tende a +\infty), logo a série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{n}{\ln n} diverge por falhar na condição necessária. Portanto a série não é absolutamente convergente.
Passo 5
Como a série original falha na condição necessária de convergência (o termo geral não tende a zero), ela diverge. Logo não é absolutamente convergente e tampouco condicionalmente convergente.
Resposta
Divergente (nem absolutamente nem condicionalmente convergente).