Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{\ln n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{\ln n}
e pede para classificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes e fatos que vou usar (sem desenvolver ainda):
  • O termo geral da série é (-1)^{n+1}\dfrac{n}{\ln n}. A sua magnitude é \dfrac{n}{\ln n}.
  • Uma condição necessária para que uma série \sum a_n convirja é que o termo geral tenda a zero: \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Se esse limite não for 0, a série diverge.
  • Para verificar convergência absoluta, olhar para a série de termos positivos \sum |a_n|. Se \sum |a_n| diverge e a série original não converge, então não há convergência condicional; se \sum |a_n| converge, a série original é absolutamente convergente.
A resolução verdadeira começa no próximo passo.

Passo 2

Vou estudar o comportamento do termo em módulo
a_n := \frac{n}{\ln n}.
É suficiente verificar o limite de a_n quando n\to\infty. Para isso, considere a função contínua de variável real
f(x)=\frac{\ln x}{x},\qquad x>0.
Usando a regra de L’Hospital para \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} (forma \tfrac{\infty}{\infty}), derivando numerador e denominador obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}= \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0.
Invertendo a relação (para x=n inteiro grande), obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}=+\infty.

Passo 3

Do resultado do passo anterior segue que o termo geral da série em módulo não só não tende a zero, como tende a +\infty:
\lim_{n\to\infty}\left|\;(-1)^{n+1}\frac{n}{\ln n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}=+\infty\neq 0.
Como condição necessária para a convergência de uma série é que o termo geral tenda a zero, concluímos imediatamente que a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{\ln n}
não pode convergir. Em outras palavras, a série diverge.

Passo 4

Para a convergência absoluta precisamos que a série das magnitudes
\sum_{n=2}^{\infty}\left|\;(-1)^{n+1}\frac{n}{\ln n}\right|=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{\ln n}
converja. Mas já vimos que o termo geral \dfrac{n}{\ln n} não tende a zero (tende a +\infty), logo a série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{n}{\ln n} diverge por falhar na condição necessária. Portanto a série não é absolutamente convergente.

Passo 5

Como a série original falha na condição necessária de convergência (o termo geral não tende a zero), ela diverge. Logo não é absolutamente convergente e tampouco condicionalmente convergente.

Resposta

Divergente (nem absolutamente nem condicionalmente convergente).

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