Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n!}{10 n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n!}{10\,n}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e provar a resposta.
Informações dadas que usaremos: cada termo geral é (-1)^{n}\dfrac{n!}{10\,n} para n=1,2,\dots. Não há outras condições externas.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão do termo geral. Note que
\frac{n!}{n}=(n-1)!.
Portanto o termo geral da série pode ser escrito como
a_n = (-1)^{n}\frac{(n-1)!}{10}.
Aqui a_n é o n-ésimo termo da série. Vou trabalhar com o comportamento de |a_n| porque isso mostrará convergência ou divergência.
Passo 3
Lembrete teórico importante (teste do termo geral): se uma série \sum a_n converge, então necessariamente os termos a_n tendem a zero, isto é,
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), a série diverge imediatamente. Esse é um teste rápido e necessário (mas não suficiente).
Passo 4
Vamos avaliar o comportamento de |a_n|. Temos
|a_n| = \frac{(n-1)!}{10}.
Observação sobre (n-1)!: para n\ge 1 a sequência (n-1)! satisfaz a relação de recorrência
Isso mostra que cada passo a sequência é multiplicada por um fator pelo menos 1,2,3,\dots e, portanto, (n-1)!\to\infty quando n\to\infty. Em particular
Mas o termo geral dessa série absoluta é justamente \dfrac{(n-1)!}{10}, que tende a +\infty (não tende a zero). Pelo mesmo teste do termo geral, essa série absoluta diverge também. Portanto não há convergência absoluta.
Passo 7
Para ser condicionalmente convergente uma série precisa convergir, porém não convergir absolutamente. Aqui a série já não converge (Passo 5), então não pode ser condicionalmente convergente.
Resposta
Divergente (não é absolutamente nem condicionalmente convergente).