Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n!}{10 n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n!}{10\,n}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e provar a resposta.
Informações dadas que usaremos: cada termo geral é (-1)^{n}\dfrac{n!}{10\,n} para n=1,2,\dots. Não há outras condições externas.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão do termo geral. Note que
\frac{n!}{n}=(n-1)!.
Portanto o termo geral da série pode ser escrito como
a_n = (-1)^{n}\frac{(n-1)!}{10}.
Aqui a_n é o n-ésimo termo da série. Vou trabalhar com o comportamento de |a_n| porque isso mostrará convergência ou divergência.

Passo 3

Lembrete teórico importante (teste do termo geral): se uma série \sum a_n converge, então necessariamente os termos a_n tendem a zero, isto é,
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), a série diverge imediatamente. Esse é um teste rápido e necessário (mas não suficiente).

Passo 4

Vamos avaliar o comportamento de |a_n|. Temos
|a_n| = \frac{(n-1)!}{10}.
Observação sobre (n-1)!: para n\ge 1 a sequência (n-1)! satisfaz a relação de recorrência
\frac{(n)!}{(n-1)!}=n,
ou, equivalently, para índices sucessivos:
\frac{(n-1)!}{(n-2)!}=n-1\quad\text{(para \(n\ge 2\))}.
Isso mostra que cada passo a sequência é multiplicada por um fator pelo menos 1,2,3,\dots e, portanto, (n-1)!\to\infty quando n\to\infty. Em particular
\lim_{n\to\infty}|a_n|=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)!}{10} = +\infty.
Como |a_n| tende a infinito, a_n não tende a zero (na verdade |a_n| cresce sem limite).

Passo 5

Aplicando o teste do termo geral (Passo 3) concluímos que a série não pode convergir, pois seus termos não tendem a zero. Logo a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n!}{10\,n}
é divergente.

Passo 6

Agora verifico a convergência absoluta por completude do argumento: a série absoluta associada é
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\frac{n!}{10\,n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)!}{10}.
Mas o termo geral dessa série absoluta é justamente \dfrac{(n-1)!}{10}, que tende a +\infty (não tende a zero). Pelo mesmo teste do termo geral, essa série absoluta diverge também. Portanto não há convergência absoluta.

Passo 7

Para ser condicionalmente convergente uma série precisa convergir, porém não convergir absolutamente. Aqui a série já não converge (Passo 5), então não pode ser condicionalmente convergente.

Resposta

Divergente (não é absolutamente nem condicionalmente convergente).

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