Determine se a série é convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{1+\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{1+\sqrt{n}}
é convergente ou divergente. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • O sinal alterna por causa do fator (-1)^{n+1}.
  • O termo em módulo é \displaystyle b_{n}=\frac{1}{1+\sqrt{n}}.
    A pergunta é: a série converge? Se sim, converge absolutamente ou apenas condicionalmente?

Passo 2

Verifico o comportamento do termo em módulo quando n\to\infty. Calculo
\lim_{n\to\infty} b_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\sqrt{n}}.
Como \sqrt{n}\to\infty quando n\to\infty, o denominador diverge e portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\sqrt{n}}=0.
Isso confirma a condição necessária (mas não suficiente sozinha) para que uma série alternada possa convergir: os termos em módulo tendem a zero.

Passo 3

Preciso agora verificar se a sequência \bigl(b_{n}\bigr)_{n\ge1} é monótona decrescente (ou seja, b_{n+1}\le b_n para todo n a partir de algum ponto). Calculo a diferença:
b_{n+1}-b_n=\frac{1}{1+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{1+\sqrt{n}} =\frac{\,1+\sqrt{n}-\bigl(1+\sqrt{n+1}\bigr)\,}{(1+\sqrt{n+1})(1+\sqrt{n})} =\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{(1+\sqrt{n+1})(1+\sqrt{n})}.
Como \sqrt{n}-\sqrt{n+1}<0 para todo n\ge1, o numerador é negativo e o denominador é positivo, logo b_{n+1}-b_n<0. Portanto b_{n} é estritamente decrescente para todo n\ge1.

Passo 4

Aplico agora o teste da série alternada (teste de Leibniz). O enunciado do teste é:
seja uma série \sum (-1)^{n} a_n com a_n\ge0. Se
(i) a_n é monótona decrescente a partir de algum n, e
(ii) \lim_{n\to\infty} a_n=0,
então a série converge. (Intuição rápida: as somas parciais ficam encaixadas entre dois limites e formam uma sequência convergente.)
No nosso caso a_n=b_n=\dfrac{1}{1+\sqrt{n}} satisfaz (i) e (ii) pelos passos anteriores. Logo a série alternada
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{1+\sqrt{n}}
converge.

Passo 5

Precisamos agora decidir se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, examino a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+\sqrt{n}}.
Se essa série convergir, a série original é absolutamente convergente; se divergir, a convergência (já demonstrada) será apenas condicional.

Passo 6

Comparo \dfrac{1}{1+\sqrt{n}} com \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Para n\ge1 temos \sqrt{n}\ge1, então
1+\sqrt{n}\le \sqrt{n}+\sqrt{n}=2\sqrt{n}.
Invertendo (e lembrando que todos os termos são positivos) obtém-se
\frac{1}{1+\sqrt{n}}\ge\frac{1}{2\sqrt{n}}.
Portanto, para todo n\ge1,
\frac{1}{1+\sqrt{n}}\ge\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}.
Sabemos que a série p (p-series) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} diverge quando p\le1. Aqui \dfrac{1}{\sqrt{n}}=n^{-1/2} corresponde a p=\tfrac12\le1, então \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} diverge. Pela desigualdade de comparação (termos positivos), como \dfrac{1}{1+\sqrt{n}}\ge \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{n}} e a série à direita diverge, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{1+\sqrt{n}} também diverge.

Passo 7

Concluo: a série original converge pelo teste de Leibniz, mas a série dos valores absolutos diverge pela comparação com \sum 1/\sqrt{n}. Logo a série não é absolutamente convergente; ela converge apenas condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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