Determine se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
é convergente ou divergente. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- O sinal alterna por causa do fator
. - O termo em módulo é
.
A pergunta é: a série converge? Se sim, converge absolutamente ou apenas condicionalmente?
Passo 2
Verifico o comportamento do termo em módulo quando
. Calculo
Como
quando
, o denominador diverge e portanto
Isso confirma a condição necessária (mas não suficiente sozinha) para que uma série alternada possa convergir: os termos em módulo tendem a zero.
Passo 3
Preciso agora verificar se a sequência
é monótona decrescente (ou seja,
para todo
a partir de algum ponto). Calculo a diferença:
Como
para todo
, o numerador é negativo e o denominador é positivo, logo
. Portanto
é estritamente decrescente para todo
.
Passo 4
Aplico agora o teste da série alternada (teste de Leibniz). O enunciado do teste é:
seja uma série com
. Se
(i) é monótona decrescente a partir de algum
, e
(ii) ,
então a série converge. (Intuição rápida: as somas parciais ficam encaixadas entre dois limites e formam uma sequência convergente.)
seja uma série
(i)
(ii)
então a série converge. (Intuição rápida: as somas parciais ficam encaixadas entre dois limites e formam uma sequência convergente.)
No nosso caso
satisfaz (i) e (ii) pelos passos anteriores. Logo a série alternada
converge.
converge.
Passo 5
Precisamos agora decidir se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, examino a série dos valores absolutos:
Se essa série convergir, a série original é absolutamente convergente; se divergir, a convergência (já demonstrada) será apenas condicional.
Passo 6
Comparo
com
. Para
temos
, então
Invertendo (e lembrando que todos os termos são positivos) obtém-se
Portanto, para todo
,
Sabemos que a série p (p-series)
diverge quando
. Aqui
corresponde a
, então
diverge. Pela desigualdade de comparação (termos positivos), como
e a série à direita diverge, a série
também diverge.
Passo 7
Concluo: a série original converge pelo teste de Leibniz, mas a série dos valores absolutos diverge pela comparação com
. Logo a série não é absolutamente convergente; ela converge apenas condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente.