Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
As informações dadas são: a série
As informações dadas são: a série
tem termo geral
. Não há outras condições extra no enunciado.
Passo 2
O que significa cada tipo de convergência (explicação didática e curta):
- Uma série
é absolutamente convergente se a série das magnitudes\ convergir. Ou seja, removendo sinais e somando os valores positivos, a soma é finita. - A série é condicionalmente convergente se
converge, mas diverge. - A série é divergente se
não converge.
Importante: absoluta convergência implica convergência (isto é, seconverge então também converge).
Passo 3
Formulando a série das magnitudes (para testar convergência absoluta): peguei o termo geral do enunciado
e calculei
. Assim a série das magnitudes é
Vamos analisar se essa série converge.
Passo 4
Apresentando o Teste da Razão (razão de D’Alembert) — explicação do mecanismo:
Se é uma sequência de termos positivos e
Se
existe, então
- se
a série converge absolutamente (converge), - se
a série diverge, - se
o teste é inconclusivo.
Aqui aplicamos com(todos positivos).
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão ao termo
. Calculo a razão:
Agora tomo o limite quando
:
Como
, pelo Teste da Razão a série
converge.
Passo 6
Conclusão sobre a convergência absoluta: já que a série das magnitudes
converge, a série original
é absolutamente convergente. Lembrete: absoluta convergência implica que a série original também converge (não apenas condicionalmente, mas com a propriedade mais forte de convergência absoluta).
Passo 7
Comentário extra (opcional, para reforçar a intuição): a série
é a expansão da exponencial
. Portanto
o que mostra explicitamente que a soma das magnitudes é finita. Não era necessário para classificar, mas é uma verificação bonita.
Resposta
Absolutamente convergente.