Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
As informações dadas são: a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{n!}
tem termo geral \displaystyle a_n = (-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{n!}. Não há outras condições extra no enunciado.

Passo 2

O que significa cada tipo de convergência (explicação didática e curta):
  • Uma série \displaystyle\sum a_n é absolutamente convergente se a série das magnitudes\ \displaystyle\sum |a_n| convergir. Ou seja, removendo sinais e somando os valores positivos, a soma é finita.
  • A série é condicionalmente convergente se \displaystyle\sum a_n converge, mas \displaystyle\sum |a_n| diverge.
  • A série é divergente se \displaystyle\sum a_n não converge.
    Importante: absoluta convergência implica convergência (isto é, se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge).

Passo 3

Formulando a série das magnitudes (para testar convergência absoluta): peguei o termo geral do enunciado \displaystyle a_n = (-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{n!} e calculei |a_n|. Assim a série das magnitudes é
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n!}.
Vamos analisar se essa série converge.

Passo 4

Apresentando o Teste da Razão (razão de D’Alembert) — explicação do mecanismo:
Se \displaystyle b_n é uma sequência de termos positivos e
L = \lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}
existe, então
  • se L<1 a série \sum b_n converge absolutamente (converge),
  • se L>1 a série diverge,
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
    Aqui aplicamos com b_n=\dfrac{3^n}{n!} (todos positivos).

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão ao termo b_n=\dfrac{3^n}{n!}. Calculo a razão:
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\dfrac{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{3^n}{n!}}=\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^n}=\frac{3}{n+1}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1}=0.
Como 0<1, pelo Teste da Razão a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!} converge.

Passo 6

Conclusão sobre a convergência absoluta: já que a série das magnitudes \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!} converge, a série original \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{n!} é absolutamente convergente. Lembrete: absoluta convergência implica que a série original também converge (não apenas condicionalmente, mas com a propriedade mais forte de convergência absoluta).

Passo 7

Comentário extra (opcional, para reforçar a intuição): a série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!} é a expansão da exponencial e^{3}. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n!}=e^{3}-1,
o que mostra explicitamente que a soma das magnitudes é finita. Não era necessário para classificar, mas é uma verificação bonita.

Resposta

Absolutamente convergente.

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