Como \dfrac{n+1}{2}\to\infty quando n\to\infty, para n grande a razão é maior que 1. Isso indica que a sequência (a_n) cresce (e cresce sem bound), portanto
Pelo teste necessário para convergência, a série original não pode convergir (nem condicionalmente nem absolutamente) se os termos não tendem a zero. Logo a série diverge.
Passo 5
Verificação adicional (opcional, para completar o raciocínio): a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^{n+1}}
também diverge; podemos aplicar o teste da razão para séries e obter o mesmo quociente \dfrac{n+1}{2} cujo limite é infinito, portanto maior que 1, confirmando a divergência absoluta. Como a série original não converge, não existe convergência condicional.