Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n!}{2^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n!}{2^{n+1}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas:
  • o termo geral da série é (-1)^{n}\dfrac{n!}{2^{n+1}};
  • podemos considerar tanto a série original (alternada) quanto a série dos valores absolutos \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n!}{2^{n+1}}.

Passo 2

Primeira observação teórica importante (teste necessário): para que uma série \sum a_n convirja é necessário que o termo geral tenda a zero, isto é,
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, então a série diverge imediatamente. Essa é a verificação mais simples e frequentemente salva tempo na prova.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao nosso termo (valor absoluto do termo):
a_n=\frac{n!}{2^{n+1}}.
Calculo a razão entre termos consecutivos para entender o comportamento de a_n:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{(n+1)!}{2^{n+2}}}{\dfrac{n!}{2^{n+1}}}=\frac{n+1}{2}.
Como \dfrac{n+1}{2}\to\infty quando n\to\infty, para n grande a razão é maior que 1. Isso indica que a sequência (a_n) cresce (e cresce sem bound), portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{2^{n+1}} = +\infty,
em particular não tende a zero.

Passo 4

Pelo resultado do Passo 3, o termo geral da série alternada também não tende a zero, pois
\left|(-1)^n\frac{n!}{2^{n+1}}\right|=\frac{n!}{2^{n+1}}\not\to 0.
Pelo teste necessário para convergência, a série original não pode convergir (nem condicionalmente nem absolutamente) se os termos não tendem a zero. Logo a série diverge.

Passo 5

Verificação adicional (opcional, para completar o raciocínio): a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^{n+1}}
também diverge; podemos aplicar o teste da razão para séries e obter o mesmo quociente \dfrac{n+1}{2} cujo limite é infinito, portanto maior que 1, confirmando a divergência absoluta. Como a série original não converge, não existe convergência condicional.

Resposta

Divergente.

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